Nora prépare un relevé fictif pour trois étapes d’un service imaginé. À chacune, la fiche possède un état A ou B, mais Camille ne reçoit qu’un signe U ou V. Ce signe peut différer de l’état. Nora veut remplir deux remises : une histoire complète choisie d’un seul tenant, et trois cases choisies séparément. Les deux feuilles utiliseront les mêmes signes reçus. Les calculs doivent dire pourquoi leurs réponses peuvent différer, plutôt que transformer un signe en une observation certaine de l’état.
Les états, signes et probabilités sont stipulés. Aucun service, comportement humain ou lecteur matériel n’est mesuré. Les modèles à états cachés et les méthodes de somme ou de maximum sont classiques ; nous ne revendiquons pas leur invention. Le modèle ne vient pas des catalogues cités.
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Pen Chalet présente des stylos-plume.
Ces catégories seules sont retenues. Ni images ni méthodes de ces commerçants ne sont utilisées.
À la première étape, A et B ont chacun une moitié de chance. Ensuite, l’état reste identique avec trois quarts et change avec un quart. Un état A donne le signe U avec trois quarts, V avec un quart ; un état B donne V avec trois quarts, U avec un quart. Une fois l’histoire entière d’états donnée, les signes sont tirés indépendamment selon ces lignes. Les deux lettres d’état et les deux signes restent distincts. Camille reçoit U, V, U, dans cet ordre.
Huit histoires contribuent aux mêmes signes
Camille remplit les huit histoires de trois états. Le poids d’une histoire avec les signes reçus multiplie sa moitié initiale, ses deux transitions et ses trois probabilités de signe. Avec le dénominateur commun 2048, elle obtient AAA=81, AAB=9, ABA=27, ABB=27, BAA=9, BAB=1, BBA=27 et BBB=27. Leur total est 208 sur 2048, soit treize cent vingt-huitièmes. Ces poids comprennent la réception de U,V,U ; ils ne sont pas encore une liste de probabilités d’histoires totalisant un parmi les seuls cas où ces signes ont été reçus.
Pour choisir une histoire complète, Nora compare les huit contributions. AAA est seule au maximum, avec 81 contre 27 pour ses quatre suivantes. Camille remet donc AAA, et joint sa chance conditionnelle 81 sur 208 après réception des trois signes. Le V du milieu n’oblige pas à choisir B au milieu de cette remise. AAA a produit un signe différent de son deuxième état, sous une permission dont le poids est positif. Nora garde cette discordance dans le dossier ; elle ne corrige pas V en U pour que les signes ressemblent davantage à l’histoire choisie.
Camille construit cependant une seconde réponse en examinant chaque position séparément. À la première, les histoires commençant par A pèsent 81+9+27+27, soit 144 sur les 208 ; celles commençant par B pèsent 64. La dernière position possède les mêmes deux totaux. A est donc le choix le plus probable pour la première et la troisième case, avec neuf treizièmes. La somme regroupe plusieurs histoires différentes ; aucune de ces deux cases n’a besoin de recevoir l’étiquette particulière AAA pour être comptée dans son groupe.
Au milieu, les histoires portant A sont AAA, AAB, BAA et BAB. Leurs poids font 81+9+9+1, soit 100. Celles portant B font 27+27+27+27, soit 108. Camille remet donc B pour cette case, avec 108 sur 208, ou vingt-sept cinquante-deuxièmes. La réponse des trois choix séparés devient ABA. Nora ne la rebaptise pas « histoire la plus probable » : cette histoire particulière ne pèse que 27 sur 208, trois fois moins que AAA. La majorité du B central venait de quatre histoires, et non d’un grand poids accordé à la seule histoire ABA.
Nora donne une fiche distincte à chaque commande. La première inscrit AAA sous « une histoire entière » ; la seconde inscrit A,B,A sous « chaque position séparément ». Toutes deux conservent U,V,U comme signes reçus. Si Camille déplaçait les 108 du milieu vers une ligne intitulée ABA, elle attribuerait à une histoire les poids d’ABB, BBA et BBB qui ne sont pas cette histoire. Nora barre précisément ce transfert. Les trois choix les plus probables pris case par case ne constituent pas ici le choix qui maximise le poids de toute la suite.
Additionner les arrivées et garder la meilleure arrivée ne sont pas le même calcul
Camille veut vérifier les comptes sans recopier huit histoires à chaque nouvelle étape. Après le premier U, les contributions se terminant en A et B sont trois huitièmes et un huitième. Après V, arriver en A donne trois huitièmes fois trois quarts, plus un huitième fois un quart, puis multiplie cette somme par un quart : cinq soixante-quatrièmes. Arriver en B donne trois huitièmes fois un quart, plus un huitième fois trois quarts, puis multiplie par trois quarts : neuf soixante-quatrièmes. Chaque arrivée conserve les deux provenances, car elles sont des possibilités distinctes de la même extrémité.
Après le troisième signe U, les arrivées en A totalisent neuf cent vingt-huitièmes ; celles en B, quatre cent vingt-huitièmes. Leur somme retrouve treize cent vingt-huitièmes, le poids de réception des trois signes. La fraction neuf treizièmes donne alors la chance du dernier A. Camille n’en déduit pas que AAA porte neuf treizièmes : les arrivées finales en A comprennent également ABA, BAA et BBA. Nora garde les quatre provenances dans le reçu de la somme. Elles avaient servi à répondre sur la dernière case et doivent rester réunies dans cette question.
Pour choisir l’histoire entière, Camille ouvre une autre colonne où elle garde le maximum au lieu de la somme. Après V, la meilleure arrivée en A porte neuf cent vingt-huitièmes et vient d’AA. La meilleure arrivée en B porte aussi neuf cent vingt-huitièmes, avec deux histoires égales, AB et BB. Camille conserve ce départage comme une égalité réelle. Après U, le meilleur chemin vers A vient du précédent A et porte 81 sur 2048. Le meilleur chemin vers B vient du précédent B et porte 27 sur 2048. Le premier gagne le choix entier.
Nora demande à Camille de remonter les prédécesseurs de l’arrivée gagnante A. Elle retrouve A à l’étape deux, puis A à l’étape un : AAA. Elle ne remonte pas le B qui gagnait la comparaison marginale du milieu, car cette colonne additionnait d’autres provenances. L’égalité AB/BB ne crée pas non plus une égalité pour le chemin entier gagnant : ces deux histoires ne sont retenues que dans l’arrivée finale B, qui reste moins probable. Camille remet AAA avec ses deux prédécesseurs, au lieu d’écrire seulement le dernier A et de compléter les deux premières cases à partir d’une autre feuille.
Une proposition additionne les deux meilleurs poids finaux, 81 et 27 sur 2048, puis divise 81 par cette somme. Elle annoncerait trois quarts pour AAA. Nora refuse cette normalisation : seules deux arrivées maximales ont été gardées, alors que les signes reçus admettaient huit histoires de poids total 208. Le dénominateur correct reste 208 et la chance d’AAA 81 sur 208. Camille peut garder 81 et 27 pour comparer deux maxima ; elle ne les transforme pas en une répartition exhaustive en supprimant les arrivées secondaires de leur groupe.
Le maximum et la somme partagent les mêmes transitions et les mêmes probabilités de signe. Cela ne permet pas de les réunir dans un seul compte. Le premier garde un témoin optimal, la seconde l’ensemble des contributions. L’exécution précédente avait montré leurs résultats concrets ; ce rappel de méthode ne fournit pas une nouvelle histoire ou une nouvelle observation. Nora conserve les deux colonnes avec leur question au lieu de traiter leur différence comme une incertitude d’arrondi.
La perte annoncée détermine quelle feuille remettre
Nora donne d’abord un point de perte si l’histoire entière remise est différente de l’histoire d’états tirée, et zéro si elle lui correspond exactement. Sous cette convention, AAA perd dans 127 des 208 parts, tandis qu’ABA perd dans 181. Camille choisit AAA pour cette commande. Le point est unique, même si deux ou trois positions sont fausses : la consigne juge une histoire complète comme une seule réponse. Elle ne compte donc pas trois petits succès d’ABA pour lui attribuer un poids supplémentaire sur les histoires qui commencent ou finissent pareil.
Une autre commande donne un point pour chaque case différente, et additionne les trois points possibles. Si Camille remet AAA, les erreurs possibles ont pour poids 64 sur 208 à la première case, 108 sur 208 au milieu et 64 sur 208 à la dernière. La perte moyenne vaut 236 sur 208, ou cinquante-neuf cinquante-deuxièmes. En remettant ABA, le coût du milieu devient 100 sur 208 et les deux autres demeurent 64. Elle obtient 228 sur 208, soit cinquante-sept cinquante-deuxièmes, inférieur au précédent.
Camille choisit donc ABA sous cette seconde perte. Il ne lui faut pas inventer que les trois erreurs seraient indépendantes pour additionner ces trois coûts moyens. Chaque histoire apporte le nombre de ses cases différentes ; regrouper les contributions par case produit les mêmes totaux. Nora garde la convention « un point par case » auprès de la remise. Elle n’annonce pas qu’ABA vient de devenir la plus probable des huit histoires : son poids joint reste 27 sur 208, et AAA conserve 81.
Les autres choix de trois cases ne peuvent battre ABA pour cette perte additive : dans la première et la dernière case, choisir B remplacerait le coût 64 par 144 ; au milieu, choisir A remplace 100 par 108. Chaque modification augmente sa contribution propre, sans réduire celle des autres cases dans cette convention. Nora a ainsi une réalisation et une exclusion des choix concurrents. La même justification ne vaudrait pas pour le point unique sur l’histoire entière, où les trois colonnes d’erreur ne sont pas trois pertes séparées.
Un quatrième signe peut modifier l’inférence sur une ancienne position
Camille reçoit un U supplémentaire à une quatrième étape. Les trois premiers signes demeurent U,V,U. Nora conserve la première feuille, datée logiquement avant cette quatrième réception, puis calcule avec U,V,U,U. Chaque histoire de trois états possède désormais deux prolongements possibles, un vers A et l’autre vers B, avec la transition et le signe qui leur correspondent. Les huit histoires anciennes donnent seize histoires complètes ; aucune ancienne case observée n’a été effacée pour faire place à la nouvelle.
Depuis un dernier A, la chance d’un U suivant vaut trois quarts fois trois quarts, plus un quart fois un quart : dix seizièmes. Depuis un dernier B, elle vaut un quart fois trois quarts, plus trois quarts fois un quart : six seizièmes. Les histoires terminant en A avaient neuf cent vingt-huitièmes de contribution, celles terminant en B quatre. Le poids des quatre signes devient donc neuf cent vingt-huitièmes fois dix seizièmes, plus quatre cent vingt-huitièmes fois six seizièmes, soit 57 sur 1024. Camille garde les deux origines au lieu de multiplier simplement treize cent vingt-huitièmes par trois quarts.
Pour l’ancienne position centrale, les histoires de trois états portant A avaient un poids de 100 sur 2048. Parmi elles, AAA et BAA finissaient en A, avec 90 parts ; AAB et BAB finissaient en B, avec dix. Après le quatrième U, leur poids total devient 90 fois dix plus dix fois six, sur 32768 : 960 parts. Les anciennes histoires centrales B avaient 108 parts, réparties en 54 finissant en A et 54 en B ; elles deviennent 864 parts. Camille compare 960 et 864 sous le même dénominateur, sans intervertir un état central avec une arrivée finale.
La position deux reçoit donc maintenant A avec dix dix-neuvièmes, plus qu’une moitié. Avant le quatrième U, son A n’avait que vingt-cinq cinquante-deuxièmes, moins qu’une moitié. Le choix séparé de cette ancienne case passe de B à A. Nora remet les deux calculs avec leurs signes disponibles, plutôt qu’une correction affirmant que le deuxième signe était auparavant mal lu. Il demeure V dans les deux dossiers. La réception tardive renseigne sur les histoires qui ont conduit à cette position, à travers leur dernier état ; elle ne transforme pas l’inférence ancienne en une observation directe qui aurait été faite dès la deuxième étape.
La meilleure histoire entière à quatre étapes reste une histoire de A successifs, AAAA. Son poids conditionnel vaut 243 sur 608, obtenu à partir de sa contribution 729 sur 32768 et du total 1824 sur 32768. Camille ne lui attribue pas dix dix-neuvièmes : cette fraction concernait le seul A de la position deux et agrégeait plusieurs histoires. Les réponses entière et séparée peuvent désormais afficher la même lettre à cette position, tout en gardant des poids et des objets différents. Nora garde AAAA pour le choix entier, sans réécrire les anciennes 81 parts d’AAA comme si le quatrième signe avait déjà été reçu.
Limiter les changements porte sur l’histoire commune
Une branche nouvelle reprend seulement U,V,U et la règle initiale. Nora exige que l’histoire retenue appartienne aux suites où l’état change au plus une fois. Elle traite cette exigence comme une restriction explicite des histoires permises, puis conditionne sur cette restriction et les signes. Ce n’est pas une annonce qu’aucun changement supplémentaire ne surviendrait dans un vrai service. Les six suites permises sont AAA, AAB, ABB, BAA, BBA et BBB. ABA et BAB sont les deux suites écartées, chacune changeant deux fois.
La somme des contributions permises vaut 81+9+27+9+27+27 sur 2048, soit 180 sur 2048 ou 45 sur 512. Le milieu A regroupe maintenant AAA, AAB et BAA : 99 sur ces 180 parts, donc onze vingtièmes. Le milieu B en regroupe 81, donc neuf vingtièmes. Camille remet A pour la case centrale sous cette commande restreinte, alors qu’elle remettait B sous les huit histoires libres. Le nouveau dénominateur n’est pas 208 : les 27 parts d’ABA et l’unique part de BAB ont été retirées par une permission nouvelle, pas par le seul fait que leurs poids étaient faibles.
Nora vérifie pourquoi elle ne peut pas exprimer cette restriction en effaçant toutes les transitions A vers B. AAB et ABB emploient un passage A vers B et restent permises. De même BAA et BBA emploient un passage B vers A. Les deux passages existent donc chacun dans des histoires autorisées ; c’est leur deuxième emploi après un premier changement qui peut devenir interdit. Camille garde les deux transitions et le nombre de changements déjà utilisés, au lieu de modifier la ligne de probabilités pour déclarer impossible une transition qui contribue encore à la liste des six.
Les préfixes AA et BA terminent tous deux en A, mais le premier n’a encore changé aucune fois et le second a déjà changé une fois. Devant un B final, AAB reste permis et BAB est refusé. Le seul nom de leur état courant A ne permet donc plus de réunir ces deux préfixes pour toutes les continuations. Camille joint zéro ou un au nombre de changements déjà employés. Nora reçoit ce contrôle rempli sur deux arrivées identiques en état, dont les droits de prolongement sont différents. La restriction appartient à l’histoire commune, et non à trois cases qu’on pourrait sélectionner indépendamment sans la conserver.
La meilleure histoire entière permise reste AAA : elle était déjà maximale parmi les huit et n’a pas été retirée. Sa chance conditionnelle sous la restriction vaut maintenant 81 sur 180, ou neuf vingtièmes. Nora garde séparée cette nouvelle fraction et les 81 sur 208 de la commande libre. Le même témoin demeure choisi, mais l’ensemble des histoires auprès desquelles son poids est rapporté a changé. Camille n’annonce pas que la réception U,V,U aurait gagné en fiabilité ; elle a appliqué une condition supplémentaire portant sur la suite qu’elle accepte de remettre.
Le dossier conserve enfin ses trois commandes : histoire entière, cases séparées, puis histoires limitées à un changement. Le quatrième signe possède sa feuille à part. Les probabilités sont celles du modèle stipulé, sans observation matérielle ni promesse de reconstituer un service réel. Nora joint à chaque remise les signes disponibles, les histoires permises et l’unité de perte réellement choisie. Les réponses AAA et ABA peuvent ainsi rester correctes pour deux questions différentes, sans recevoir le même intitulé.
Une case non ouverte et un refus reçu ne sont pas le même événement
Nora prépare deux protocoles séparés, avec les mêmes transitions et les signes U reçus aux positions un et trois. Dans le premier, le signe central est produit mais son enveloppe n’est pas ouverte. Dans le second, la position centrale produit un avis « refus » exactement lorsque son état vaut B ; elle ne le produit jamais en A. Camille voit dans les deux cas une case sans lettre U ou V, mais elle connaît quel protocole a été reçu. Il ne s’agit pas d’une règle de comportement d’un véritable lecteur.
Dans le premier protocole, Camille doit additionner les deux possibilités du signe non ouvert. Pour un état central A comme pour B, leurs probabilités font un. Elle n’applique donc ni le quart de V sous A ni les trois quarts de V sous B, qui appartenaient à une réception connue de V. Les huit contributions d’histoires avec les deux U totalisent dix-sept soixante-quatrièmes ; le A central regroupe vingt-cinq trente-quatrièmes de cette masse conditionnelle. AAA est de nouveau seule au maximum, avec 81 sur 136. Nora choisit AAA pour l’histoire entière et A pour le milieu. Elle n’a pas deviné quel signe dormait dans l’enveloppe : elle a conservé les deux issues non départagées de sa production.
Dans le second protocole, un refus a effectivement été reçu. L’état central doit alors être B, selon la règle donnée. AAA disparaît donc de la commande, avec toutes les autres histoires portant A au milieu. Les quatre restantes sont ABA, ABB, BBA et BBB ; chacune porte neuf cinq cent douzièmes avant normalisation, soit un quart de la masse restante. Nora ne peut plus remettre AAA comme histoire compatible avec cet avis. Camille garde les quatre possibilités à égalité, puis choisit ABA selon un départage annoncé, A avant B aux premières positions différentes. Cette sélection ne rend pas ABA plus probable que les trois autres : leur égalité demeure dans le reçu.
Les première et troisième cases ont chacune une moitié de chance d’être A dans ce second protocole. Pourtant le milieu B est certain, contrairement aux vingt-cinq trente-quatrièmes pour A lorsque la case était simplement non ouverte. Camille conserve donc deux événements différents derrière l’absence visible de lettre : ne pas consulter un signe déjà produit, ou recevoir un refus dont la production dépend de l’état. Effacer le milieu de la liste U,V,U ne pouvait pas représenter automatiquement le second. Nora remet la règle du refus avec les quatre histoires permises et garde la première enveloppe non ouverte ; elle ne lui attribue pas après coup un refus qui n’avait jamais été reçu.