À la caisse de notre café de papier, une somme et une poignée de pièces ne décrivent pas le même objet. Une valeur peut être disponible sans que les pièces permettent de rendre le montant demandé. Une remise peut également demander peu de pièces au client tout en faisant circuler beaucoup de pièces dans l'autre sens. Pour préparer ses scènes de service, Nora demande à Camille de remplir ces choix, plutôt que de donner au mot « minimum » plusieurs sens à la fois.
Tout cet atelier est créé : le café, les personnages, les valeurs inscrites, les stocks et les permissions. Les pièces sont des jetons indivisibles portant une valeur fictive, sans euro ni autre monnaie réelle. Aucun achat, encaissement, appareil, client ou résultat professionnel n'a été observé. Nous ne certifions aucune procédure de commerce. Les compositions entières sont classiques ; les choix suivants portent sur les données expressément données à notre café, sans revendiquer une nouvelle méthode mathématique.
Cashlogy propose une caisse automatisée.
StrongPoint présente CashGuard.
Glory présente une offre pour restaurants.
Ces pages ont été consultées textuellement dans les portées indiquées par le dossier. Nous n'avons essayé aucun de leurs équipements, ni vérifié leurs promesses de performance. Elles ne fournissent pas nos dénominations, nos règles ou un comportement de machine à reproduire. Les branches qui suivent sont indépendantes : une remise effectivement choisie dans l'une n'est pas ajoutée à celle d'une autre pour fabriquer une journée de caisse.
Un premier contrôle bref : la plus grosse pièce ne donne pas toujours le moins de pièces
Le premier menu permet autant de jetons de valeur quatre, trois ou un que nécessaire. Pour fournir six, Camille prend d'abord quatre, puis deux jetons de un. Elle remet trois pièces. Nora choisit plutôt deux jetons de trois, qui fournissent aussi six avec seulement deux pièces. Une seule pièce du menu ne vaut pas six ; deux réalisent donc le minimum. Le choix retire une affirmation précise, celle que commencer par la plus grosse valeur disponible aurait nécessairement produit le moins de pièces.
Une autre branche limite pourtant le stock à un quatre, un trois et deux un. Les deux trois ne sont plus disponibles. Camille donne quatre et les deux un pour composer six. Nora conserve les trois pièces dans cette branche, sans faire apparaître un second trois pour retrouver le minimum précédent. Nous garderons ce contrôle bref : la présence d'une formulation sur une fiche et la présence de ses objets dans un stock sont déjà deux choses différentes. Ici, la limitation atteint directement les dénominations que Camille peut effectivement remettre.
Un montant situé entre deux valeurs possibles peut rester impossible
Une branche indépendante autorise autant de quatre et de sept que nécessaire, sans jeton de un. La demande porte sur dix-sept. Camille ne peut pas conclure que cette valeur existe parce que quatre et sept n'ont pas de diviseur commun supérieur à un. Avec aucun sept, les quatre donnent quatre, huit, douze ou seize avant de dépasser dix-sept. Avec un sept, il faudrait dix en quatre ; avec deux sept, il faudrait trois. Ces possibilités épuisent les nombres de sept qui ne dépassent pas la cible.
Nora retire donc dix-sept des montants qu'elle annonçait disponibles dans cette préparation. Elle demande expressément dix-huit à la place, et Camille fournit sept, sept et quatre. La valeur change avec cette nouvelle demande ; elle ne corrige pas une addition qui aurait secrètement donné dix-huit auparavant. Camille retire le titre « appoint dix-sept » de la remise. Un montant supérieur peut être réalisable alors que celui qui le précède ne l'est pas. Le choix a changé la cible, et le dossier garde l'ancienne demande comme impossible sous son menu initial.
Cette décision ne promet pas toutes les petites valeurs. Le renseignement sur le diviseur commun ne suffisait pas pour dix-sept, et la réalisation de dix-huit ne fournit pas à elle seule une pièce de cinq ou de six. Nora ne déduit aucune gamme complète d'un seul résultat réussi. Les cas suivants ajouteront soit une quantité de pièces à imposer, soit une véritable demande portant sur tout un ensemble de cibles. Ils possèdent leurs propres stocks et leurs propres réponses, sans reprendre les pièces déjà remises dans cette branche.
Moins de pièces données par le client peut produire davantage de pièces rendues
Nous créons maintenant un prix de six. Camille, cliente dans cette branche, possède un jeton de neuf et deux jetons de trois. Nora ne peut rendre que des jetons de un, au nombre de trois. Le modèle exige une remise du client au moins égale au prix, puis un rendu exact de la différence avec le stock donné. Il n'autorise ni dette, ni substitution par une promesse. Nous comparons le nombre de pièces données par Camille et le nombre de pièces qui passent dans les deux directions.
Camille souhaite d'abord donner le moins de pièces possible. Elle choisit neuf, une seule pièce, et Nora rend les trois un. Le prix est six dans cette suite exécutée, mais quatre pièces ont circulé : une dans le premier sens et trois dans l'autre. Camille ne conserve pas les deux trois dans la remise comme s'ils avaient également été donnés. Ils restent chez elle. Nora reçoit le neuf et perd ses trois un. La préférence initiale a diminué le geste demandé à la cliente, sans diminuer le nombre total de pièces transférées.
Nora reçoit ensuite un objectif différent : réduire le nombre de pièces qui passent entre elles, en comptant les deux directions. Camille propose alors trois et trois, exactement six. Nora ne rend rien. Deux pièces ont circulé au lieu de quatre. La cliente en donne davantage que dans la première proposition, mais le total est plus faible. Nora choisit ce règlement exact pour cette nouvelle branche. Elle retire la consigne « une seule pièce du client », qui avait sélectionné neuf ; elle ne présente pas les deux objectifs comme deux descriptions du même minimum.
Camille vérifie également les autres propositions de son stock. Donner neuf et un trois produirait douze et exigerait six de rendu ; les trois un de Nora ne fournissent que trois. Donner les trois pièces produirait quinze et demanderait neuf de rendu, également indisponible. Les deux règlements admissibles sont donc neuf avec trois rendus, ou les deux trois sans rendu. Le choix du total de deux ne s'appuie pas sur un troisième paiement oublié qui aurait fait circuler une seule pièce. Dans le menu effectivement donné, aucun jeton de six n'existe chez Camille.
Une demande nouvelle conserve pourtant les deux exigences ensemble : Camille devra donner au plus une pièce, et il devra circuler au plus deux pièces au total. Nora refuse la promesse sous l'ancien stock. Le règlement exact utilise deux pièces de Camille et échoue à la première limite. Neuf satisfait cette première limite, mais son rendu en trois un porte le total à quatre. On ne peut pas prendre le nombre reçu de la première proposition et le nombre rendu de la seconde pour annoncer une opération qui n'a jamais été disponible.
Nora reçoit maintenant une nouvelle pièce de trois, explicitement ajoutée à son stock de rendu avant la transaction. Cette réception est une donnée nouvelle, sans cause commerciale inventée. Camille donne neuf et Nora rend ce trois. Une pièce passe dans chaque sens, deux ensemble ; les deux limites sont respectées. Nora choisit et accomplit cette nouvelle suite. Elle conserve les trois un inutilisés. La résolution vient d'une dénomination devenue disponible dans le rendu, pas d'une réduction du prix ni d'un changement de la valeur portée par le neuf de Camille.
Le nouveau trois n'avait pas été nécessaire pour le paiement exact trois plus trois. Nora le rattache donc à la demande conjointe qu'il vient rendre possible. Elle ne réécrit pas le premier stock en y plaçant cette pièce dès le début. Le dossier distingue le règlement de deux pièces du client sans rendu, et celui d'une pièce dans chaque sens après réception du trois. Tous deux font circuler deux pièces et règlent six. Seul le second respecte également la limite d'une pièce du client que la nouvelle demande a maintenue.
La même valeur en caisse ne fournit pas les mêmes rendus
Une comparaison courte donne deux stocks de même valeur neuf : J contient deux quatre et un un ; K contient trois trois. Un nouveau client donne neuf pour un prix de six. Il faut rendre trois. K peut fournir un de ses trois, alors que J ne peut pas fabriquer trois avec ses seules pièces. Nora retient K pour cette préparation et retire la promesse identique attachée à J. La valeur totale était assez grande dans les deux stocks ; leur capacité à composer ce petit rendu ne l'était pas.
Ce cas ne demande pas de diviser physiquement une pièce de quatre pour prendre trois et en garder un. Les jetons restent indivisibles dans notre exercice. Nora n'annonce pas non plus que J est une caisse « moins riche » : les deux valeurs sont égales. La différence pertinente porte ici sur le rendu choisi. Cette comparaison restera brève dans le développement, car elle prolonge le contrôle de disponibilité. La prochaine demande impose deux contraintes jointes, la valeur remise et le nombre exact de pièces, qui doivent appartenir à une seule composition.
Imposer quatre pièces peut interdire dix-huit malgré une plage qui le contient
Revenons aux seules valeurs quatre et sept, en quantité suffisante. Nora demande dix-huit en exactement quatre pièces. Camille calcule d'abord la plage des valeurs possibles pour quatre pièces : seize si toutes valent quatre, vingt-huit si toutes valent sept. Dix-huit est compris entre ces bornes, mais cette inclusion ne remplit pas la demande. Nous conservons des valeurs entières et quatre objets distincts ; aucun jeton de valeur intermédiaire n'est ajouté pour atteindre un nombre situé au milieu de la plage.
Camille part de quatre jetons de quatre, qui font seize. Chaque remplacement d'un quatre par un sept ajoute trois. Avec quatre pièces, les valeurs possibles sont donc seize, dix-neuf, vingt-deux, vingt-cinq et vingt-huit. Dix-huit n'en fait pas partie. Il faudrait ajouter deux aux seize initiaux, alors que chaque remplacement autorisé ajoute trois. Nora retire la phrase « quatre pièces suffisent puisque dix-huit est dans la plage ». Elle garde les deux bornes comme bornes, sans les transformer en une liste contenant tous les entiers entre elles.
Nora décide d'abord de conserver dix-huit et de retirer l'obligation de quatre pièces. Camille choisit trois pièces : un quatre et deux sept. Elle les remet, et Nora accepte dix-huit sous la quantité désormais autorisée. La préparation ne prétend plus employer quatre objets. Camille retire un dessin de quatrième pièce qui accompagnait sa proposition, sans lui attribuer une valeur nulle imaginaire. La nouvelle réponse satisfait le montant retenu parce que la contrainte de quantité a réellement changé avant la remise ; elle ne satisfait pas secrètement les deux anciennes exigences.
Dans cette suite, Nora autorise trois ou quatre pièces, mais Camille n'annonce pas que les deux quantités seraient disponibles pour dix-huit. Trois convient, quatre reste impossible. Camille remplit donc le champ actif avec trois, plutôt qu'avec une plage « trois à quatre » qui ferait croire à une liberté inexistante. Deux pièces ne conviennent pas non plus : quatre plus quatre, quatre plus sept et sept plus sept produisent huit, onze ou quatorze. La remise de trois possède son propre minimum, sans que ce résultat transforme quatre en une deuxième quantité possible.
Une branche indépendante maintient au contraire exactement quatre pièces. Nora retire la cible dix-huit et accepte expressément dix-neuf. Camille fournit trois quatre et un sept. Les quatre objets font dix-neuf, et cette valeur est choisie comme nouvelle cible, pas comme un prix retrouvé. La fiche finale porte dix-neuf en quatre pièces. Camille retire dix-huit de sa légende ; garder l'ancienne valeur en changeant seulement le nombre d'objets présenterait la branche précédente comme si elle avait également préservé l'exigence que celle-ci avait abandonnée.
Le changement atteint la remise elle-même. La branche dix-huit donnait un quatre et deux sept ; la branche dix-neuf donne trois quatre et un sept. Camille ne prend pas seulement la même poignée en lui attribuant un total différent. Deux pièces de quatre supplémentaires remplacent un des sept, ce qui augmente le montant d'une unité tout en augmentant le nombre d'une pièce. Nora conserve ce nouvel ensemble dans la préparation effectivement retenue. Les deux décisions ont retiré une exigence différente, et ne produisent donc ni la même valeur ni la même composition à transmettre.
Garantir tous les montants demande davantage qu'un stock de grande valeur
Une autre caisse contient exactement un jeton de un, un de deux, un de quatre et un de huit. Nora prépare une promesse portant sur chaque cible entière de un à quinze, considérée séparément avec ce stock initial. Il ne s'agit pas de quinze clients successifs utilisant les mêmes pièces. Sans limite de nombre, ces quatre pièces peuvent composer toutes ces valeurs. Nous ajoutons maintenant une limite de trois pièces au plus par remise, sans diviser les jetons ni les remplacer par d'autres valeurs.
Camille propose la garantie jusqu'à quinze, puis examine cette dernière cible. Le stock vaut quinze au total. Pour fournir quinze, il faut donc donner toutes ses pièces : retirer n'importe laquelle diminue la valeur remise, et aucune pièce supplémentaire n'est disponible pour compenser. La remise comporte quatre objets et viole la limite de trois. Nora retire la promesse portant sur toute la plage. Elle ne la conserve pas au seul motif que le total en caisse est quinze ou qu'une grande majorité des petits montants y sont disponibles.
Nora choisit ensuite de maintenir la limite de trois et d'arrêter la garantie à quatorze. Camille peut composer chaque montant de zéro à quinze en choisissant les pièces une fois chacune. Les compositions utilisent quatre pièces seulement lorsqu'elles les utilisent toutes, pour quinze. Toutes les autres en utilisent au plus trois. La nouvelle garantie de un à quatorze est donc remplie. Pour la demande quatorze effectivement donnée dans cette branche, Camille remet huit, quatre et deux, et garde le un. Nora accepte ces trois pièces sous la promesse réduite.
La vérification de toute la plage ne vient pas de cette seule remise quatorze. Les pièces un et deux composent zéro à trois ; ajouter ou ne pas ajouter quatre donne zéro à sept. Ajouter ou ne pas ajouter huit donne enfin zéro à quinze. Ces deux moitiés à chaque étape ne se recouvrent pas, de sorte que quinze garde sa composition unique avec les quatre pièces. Camille joint ce contrôle à la promesse de quatorze. Elle ne fait pas du succès d'une seule grosse cible une preuve que chacune des cibles plus petites aurait été remplie.
Une nouvelle branche conserve la garantie de un à quinze et la limite de trois, puis ajoute au stock un jeton de seize. La valeur totale passe à trente et un, mais la demande quinze reste impossible sous la limite. Le seize dépasse déjà la cible ; aucune pièce négative ni aucun rendu n'est autorisé dans ce cas d'appoint direct. Camille l'écarte de toute composition de quinze. Les anciennes pièces doivent donc fournir quinze à elles seules, toujours au nombre de quatre. Nora retire l'annonce que cet ajout de valeur aurait réparé automatiquement la garantie.
Nora choisit une autre réception expressément créée : le jeton ajouté vaut quinze, et non seize. Camille peut maintenant donner ce seul quinze pour la dernière cible. Pour les cibles un à quatorze, elle conserve les compositions précédentes, qui respectaient déjà la limite de trois. Nora accepte donc la garantie complète de un à quinze dans cette nouvelle branche. La demande quinze est effectivement exécutée en une pièce. Le stock initial de un, deux, quatre et huit reste présent, puisqu'il n'a pas servi à cette remise précise.
Camille retire de sa proposition le jeton de seize qui appartenait à l'autre branche. Elle ne garde pas les deux nouvelles pièces pour faire croire qu'une seule réception aurait fourni trente et une unités supplémentaires. Le stock de la branche retenue vaut trente avant la remise du quinze, puis quinze après celle-ci. Cette valeur restante provient des quatre pièces initiales. Nora conserve leurs dénominations dans la fiche : le succès nouveau en une pièce ne transforme pas ces quatre jetons en un second jeton de quinze qui serait déjà apparu par leur simple addition.
Une dernière réponse garde au contraire le stock initial sans recevoir aucune nouvelle pièce. Nora retire la limite de trois et accepte quatre pour maintenir la garantie jusqu'à quinze. Camille donne alors un, deux, quatre et huit pour la demande quinze effectivement faite. La valeur est identique à celle de la remise en un seul jeton de quinze, mais les objets transmis diffèrent, et le reste de cette caisse est nul. Nora choisit cette branche quand elle conserve le menu initial. Elle ne lui donne pas le reste quinze de la branche enrichie d'une nouvelle pièce.
Deux remises aussi courtes peuvent laisser des possibilités différentes pour la suivante
Une dernière branche donne un quatre, deux trois, un deux et un un, soit treize de valeur. Nora doit fournir six maintenant. La demande suivante sera un seul montant entier entre un et sept, encore inconnu ; elle devra le fournir avec les pièces restantes, sans réception supplémentaire. Nous n'exécutons pas ensuite les sept demandes ensemble. Nora veut conserver toutes ces possibilités après le premier choix. Aucun jeton ne revient spontanément dans la caisse lorsqu'il a été donné.
Camille propose quatre et deux, ou trois et trois. Chacune fournit six en deux pièces, quantité minimale puisque le stock ne possède aucun six. La première laisse deux trois et un un : les valeurs composables sont zéro, un, trois, quatre, six et sept. Deux et cinq manquent. La seconde laisse quatre, deux et un, capables de fournir chaque valeur de zéro à sept. Nora choisit trois et trois et accomplit cette première remise. Elle refuse de départager les deux minima en regardant seulement leur nombre de pièces ou leur valeur restante commune de sept.
Le choix conserve réellement la demande encore inconnue. Une autre composition initiale, trois plus deux plus un, aurait donné six avec trois pièces, mais laissé quatre et trois. Ce reste fournit trois, quatre et sept, sans fournir un, deux, cinq ou six. Ajouter une pièce à la première remise ne garantit donc pas ici davantage de liberté pour la suivante. Nora écarte cette troisième préparation. Elle maintient le choix trois plus trois, et retire la légende disant que toute composition de six laisserait la même capacité parce qu'elle ferait sortir le même montant.
La seconde demande est maintenant renseignée : cinq. Camille donne quatre et un, provenant du reste conservé, et garde le deux en caisse. Nora accomplit et retient cette suite. Le résultat cinq n'avait pas été connu pour choisir la première remise ; la garantie portait alors sur les sept cibles. Il n'était donc pas permis de choisir quatre plus deux au début en se promettant de modifier le reste après avoir découvert cinq. La suite retenue tient sa deuxième réalisation des dénominations effectivement conservées par trois plus trois.
Une alternative part pourtant d'une première remise quatre plus deux déjà accomplie, et d'une deuxième demande cinq. Nora ne réécrit pas ce premier geste. Son reste de deux trois et un un ne fournit pas cinq. Elle reçoit maintenant un nouveau deux, explicitement ajouté avant la seconde remise, puis donne trois et deux. Il reste trois et un. Nora accepte cette suite enrichie d'une réception nouvelle et retire l'annonce « sans réception supplémentaire ». La fin diffère de celle qui gardait un seul deux. Le choix de départ a donc une conséquence jusqu'à la réparation, avec un apport et des pièces restantes réellement différents.
Les réponses de notre café de papier conservent leurs conditions et leurs remises. Augmenter la valeur en caisse ne garantit pas tous les rendus, et conserver la même valeur restante ne conserve pas toujours les mêmes cibles. Nora peut réduire un nombre de pièces, changer un montant ou maintenir une demande future en voyant quelle exigence sa préparation remplit effectivement. Ces jetons créés servent à distinguer les choix ; ils ne constituent ni une journée de commerce observée ni une pratique de caisse testée.