Nora prépare après dîner un parcours de jeton entièrement créé. Camille voudrait annoncer où il terminera et combien de gestes seront nécessaires. Une même préparation peut pourtant donner une chance de sortie, une durée moyenne et une limite imposée, sans que ces trois nombres se remplacent. Elles vont distinguer la règle qui termine le parcours de celle qui choisit le prochain déplacement, puis remettre des résultats attachés à ces deux règles.
Q WORKSHOP présente des dés.
Koplow Games présente des dés.
Die Hard Dice présente des dés.
Ces catégories seules ont été lues. Aucun dé, lancer ou procédé réel n'est adapté ; les positions, gestes, règles et probabilités sont stipulés pour la feuille.
Les positions sont les entiers zéro, un, deux, trois, quatre et cinq. Le jeton part de deux. À chaque geste, un signe indépendant est choisi : plus ou moins, chacun avec une probabilité une moitié dans la première préparation. Plus ajoute un à la position, moins retire un. Le parcours s'arrête dès qu'il atteint zéro ou cinq, sans effectuer de nouveau geste depuis une borne. Les gestes n'ont ni durée physique ni paiement. Aucun enjeu d'argent, personne ou matériel réel n'intervient. Ces petits calculs de marche aléatoire sont classiques, sans invention revendiquée.
La borne atteinte dépend aussi de la place du départ
Camille souhaite d'abord que les deux sorties possèdent la même chance parce que les deux signes sont également probables. Nora examine pourtant leur éloignement : depuis deux, zéro est à deux pas, cinq à trois. Elle ne conclut pas directement depuis ces deux distances, car le jeton peut revenir en arrière. Elle prépare pour chaque position i le nombre h(i), chance d'atteindre cinq avant zéro. Aux bornes, h(0) vaut zéro et h(5) un. À l'intérieur, le premier geste donne h(i) égal à la moitié de h(i−1) plus la moitié de h(i+1).
Cette égalité signifie que les différences entre deux valeurs successives sont identiques. La différence de h(1) avec h(0) égale celle de h(2) avec h(1), et ainsi de suite. Les cinq différences doivent totaliser un entre les deux bornes ; chacune vaut donc un cinquième. Nora obtient un, deux, trois et quatre cinquièmes depuis les positions un à quatre. Depuis deux, la sortie en cinq a une chance deux cinquièmes et celle en zéro trois cinquièmes. Elle retire la promesse d'une moitié pour chaque borne, sans modifier la chance une moitié de chacun des gestes individuels.
Camille choisit une réalisation où les signes sont plus, moins, moins, moins. Le jeton passe par trois, deux, un puis zéro. Le parcours termine au quatrième geste, et le relevé porte zéro. Une autre réalisation plus, plus, plus termine en cinq après trois gestes. Nora conserve les deux suites comme des parcours admis, non comme un tirage des deux bornes directement au départ. Leurs longueurs et leurs signes ne sont pas identiques ; leur existence ne permet pas de partager également la chance totale entre les sorties. Les nombres deux cinquièmes et trois cinquièmes provenaient de toutes les continuations possibles.
La position finale moyenne vaut cinq fois deux cinquièmes plus zéro fois trois cinquièmes, soit deux. Camille avait voulu donner deux comme emplacement probable de la fin. Nora refuse : deux n'est précisément aucune des sorties permises. La moyenne retrouve la position de départ parce que les deux mouvements symétriques se compensent dans ce modèle arrêté, mais le jeton termine en zéro ou cinq. Elle garde donc trois lignes distinctes sur la fiche : départ deux, chances des deux bornes, moyenne finale deux. Aucune ligne ne transforme le départ en troisième borne atteinte.
Six gestes en moyenne ne fixent aucun dernier geste
Nora note t(i), nombre moyen de gestes restant avant une sortie depuis i. Aux deux bornes, ce nombre vaut zéro. Depuis une position intérieure, un geste est accompli avant de retrouver un état voisin ; t(i) vaut donc un plus la moitié de t(i−1) plus la moitié de t(i+1). Le un compte un geste, pas un déplacement moyen signé. Même lorsque les deux signes ont une moyenne nulle, chacun fait avancer le compte de gestes. Camille retire la formule sans ce un, qui confondait la compensation des positions avec l'absence de temps abstrait consommé.
La solution vaut quatre depuis un, six depuis deux, six depuis trois et quatre depuis quatre. Les valeurs satisfont les quatre égalités : depuis deux, un plus la moitié de quatre plus la moitié de six donne six ; depuis quatre, un plus la moitié de six plus la moitié de zéro donne quatre. Nora remet six pour leur départ deux. Elle ne l'annonce pas comme la longueur d'une réalisation particulière : les deux suites données en demandaient quatre et trois. Le même modèle permet aussi une suite qui oscille entre deux et trois avant de sortir, et son compte peut dépasser six.
Pour toute longueur paire choisie, Nora peut commencer par répéter plus puis moins autant de fois qu'elle le souhaite. Le jeton revient chaque fois à deux sans toucher les bornes. La suite possède une probabilité positive, une puissance de une moitié, puis peut se terminer par deux moins. Il n'existe donc aucun nombre de gestes fini garantissant la sortie de chaque suite possible. Cette conclusion ne dit pas que le parcours restera éternellement ouvert avec une chance positive. Depuis toute position intérieure, cinq signes plus suffisent à atteindre cinq, au plus tard ; leur chance positive donne une borne géométrique sur les attentes très longues et justifie une fin presque sûre.
Camille choisit de conserver le parcours sans plafond lorsqu'elle veut ces chances deux cinquièmes et trois cinquièmes jusqu'à une sortie effective. Nora laisse la moyenne six près de cette règle, sans lui donner la fonction d'une permission de poursuivre exactement six fois. Si Camille veut une durée maximale annoncée, elle doit choisir un autre protocole de remise. Celui-ci pourra s'arrêter avec une position encore intérieure, au lieu de présenter cette interruption comme une sortie déjà obtenue. Leur décision distingue donc une moyenne de calcul et une limite opératoire que le modèle ne possédait pas encore.
Quatre gestes peuvent laisser une demande de sortie inachevée
Camille impose maintenant quatre gestes au maximum, en gardant les deux bornes comme arrêts anticipés. Nora examine les seize suites de quatre signes, toutes équiprobables dans leur préparation. Lorsqu'une borne est atteinte avant le quatrième, les signes restant dans cette énumération ne sont pas exécutés ; ils servent seulement à compter les mêmes possibilités de tirage. La seule sortie en cinq dans ce budget arrive après trois plus. Elle occupe deux suites de quatre signes, selon le quatrième signe non exécuté, et possède donc une probabilité un huitième.
La sortie en zéro arrive après deux moins, ou après une des deux suites plus, moins, moins, moins et moins, plus, moins, moins. Les deux moins initiaux occupent quatre suites complétées par deux signes inutilisés ; les deux sorties au quatrième en ajoutent deux. Six suites sur seize, soit trois huitièmes, terminent en zéro. Les huit autres ne touchent aucune borne pendant le budget. Nora donne donc un demi comme chance d'interrompre une demande de sortie encore ouverte, plutôt que de faire totaliser un aux seules chances un huitième et trois huitièmes des deux fins réalisées.
Parmi les huit suites ouvertes, cinq finissent en deux et trois en quatre. Camille reçoit dans une réalisation les signes plus, moins, plus, moins : la position deux demeure au quatrième geste. Nora lui remet « interruption en deux, sortie non obtenue », avec les quatre gestes exécutés. Elle ne remet pas zéro comme issue défavorable par défaut, ni cinq comme la borne que le jeton aurait probablement fini par atteindre. Une réalisation plus, plus, moins, plus termine encore ouverte en quatre. Les deux positions intérieures donnent des renseignements différents pour une poursuite ultérieure, mais aucune n'a encore accompli la demande de sortie.
Camille autorise ensuite la poursuite du premier parcours depuis deux. Sa chance future d'atteindre cinq est deux cinquièmes, puisqu'il recommence de cette position sous les mêmes signes indépendants. Depuis quatre, elle serait quatre cinquièmes. Nora peut donc calculer la chance finale en cinq si toutes les interruptions sont poursuivies : un huitième déjà obtenu, plus cinq seizièmes fois deux cinquièmes, plus trois seizièmes fois quatre cinquièmes. Le total retrouve deux cinquièmes. Ce rapprochement utilise expressément les continuations réautorisées ; il n'ajoute pas leurs issues futures à la fiche qui avait annoncé un maximum de quatre.
Parmi les seules sorties en cinq, les premiers signes ne restent pas également probables
Nora conserve maintenant seulement les parcours de la préparation sans plafond qui terminent effectivement en cinq. Camille souhaite décrire leur premier geste. Partir de deux avec plus possède une chance une moitié, puis une chance trois cinquièmes de terminer en cinq depuis trois. Partir avec moins possède une chance une moitié, puis un cinquième depuis un. Les deux contributions valent trois dixièmes et un dixième ; leur somme deux cinquièmes est la chance de sortie retenue. Parmi ces sorties, la part commençant par plus vaut donc trois quarts, celle commençant par moins un quart.
Le signe réel de la préparation initiale n'a pas été modifié. Avant de connaître la borne finale, plus et moins avaient chacun une moitié. La proportion trois quarts appartient au sous-ensemble des parcours qui ont satisfait la condition de sortie en cinq. Camille retire la phrase « le premier signe était déjà biaisé avant la partie ». Nora donne les deux moments d'information avec leurs comptes propres. Apprendre la fin permet de réviser la description des parcours compatibles avec elle ; cela ne fournit pas au jeton une nouvelle pièce ou un autre mécanisme de tirage au moment du départ.
Depuis une position i, la même comparaison donne pour ces parcours retenus une chance (i+1)/(2i) d'aller vers i+1, et (i−1)/(2i) vers i−1. Depuis un, la chance du prochain moins devient zéro : aller à zéro aurait terminé le parcours à l'autre borne, ce qui contredirait la condition retenue. Depuis trois, les chances deviennent deux tiers et un tiers ; depuis quatre, cinq huitièmes et trois huitièmes. Nora peut ainsi reconstruire la loi des chemins ayant finalement atteint cinq. Elle ne conserve pas une chance trois quarts à chaque étape après le départ deux, car la position présente modifie cette comparaison.
Camille donne un début retenu plus puis moins, qui revient à deux. Sa probabilité parmi les sorties en cinq vaut trois quarts pour le premier plus, puis un tiers pour le moins depuis trois, soit un quart. Dans la loi initiale, ce début avait également un quart, mais cette égalité particulière ne rend pas les deux lois identiques. Le début moins puis plus possédait lui aussi un quart initialement ; parmi les sorties en cinq, il possède un quart fois un, soit encore un quart. En revanche, deux plus consécutifs passent de un quart initialement à trois quarts fois deux tiers, soit une moitié dans le sous-ensemble retenu.
Cette description conditionnelle ne doit pas servir à rejouer les parcours initiaux en prétendant conserver les chances des deux bornes. Avec sa transition forcée vers deux depuis un, elle ne laisse plus de possibilité de sortie en zéro. Camille peut adopter cette loi comme une nouvelle préparation favorisant uniquement les parcours vers cinq, mais elle doit alors annoncer qu'elle a changé les mouvements autorisés en probabilité. Nora maintient la première préparation à deux sorties et la seconde loi conditionnelle dans deux dossiers. L'une reçoit un choix de signes avant de connaître la fin ; l'autre décrit les chemins une fois la condition de fin imposée.
Les parcours retenus peuvent durer davantage que la moyenne générale
Les sorties en cinq depuis deux demandent en moyenne sept gestes, tandis que les sorties en zéro en demandent seize tiers. Leur mélange redonne la moyenne générale : deux cinquièmes fois sept plus trois cinquièmes fois seize tiers vaut six. Camille voulait donner six à chacun des deux groupes parce qu'ils provenaient de la même préparation. Nora retire ce partage. Le compte sept peut être plus élevé que six sans contredire le modèle ; les parcours éliminés par la condition ne possédaient pas la même moyenne que ceux gardés. La sélection d'une borne a changé la population des chemins dont on compte les gestes.
Pour vérifier sept sans compter seulement les parcours les plus courts, Nora prend le nombre moyen de gestes sous la loi conditionnelle précédente. La fin en cinq possède zéro geste restant. Depuis un, aller à deux est forcé et ajoute un ; depuis deux, plus reçoit trois quarts et moins un quart. Les valeurs huit, sept, seize tiers et trois, depuis un à quatre, satisfont ces nouvelles égalités. Depuis deux, un plus trois quarts fois seize tiers plus un quart fois huit vaut sept. Camille garde ces poids conditionnels dans la vérification, au lieu d'utiliser de nouveau deux moitiés avec les valeurs d'un autre groupe.
Nora peut aussi conserver le compte des gestes de tous les parcours, en attribuant zéro aux parcours finissant en zéro lorsqu'elle forme la contribution associée aux seules sorties en cinq. Depuis deux, cette contribution vaut deux cinquièmes fois sept, soit quatorze cinquièmes. Le reste de la moyenne générale vaut seize cinquièmes, issu des sorties en zéro. Les deux contributions totalisent six, mais chacune compte les gestes avec la fréquence de son groupe. Camille ne remet donc pas quatorze cinquièmes comme la durée moyenne d'un parcours réussi : il faudrait encore diviser par sa chance deux cinquièmes pour retrouver sept.
Changer la chance d'un signe change les deux calculs de sortie
Une autre préparation choisit plus avec probabilité deux tiers, moins avec un tiers, indépendamment à chaque geste. Les positions et les deux arrêts restent zéro et cinq. Nora recalcule les chances h(i) avec deux tiers pour la continuation haute et un tiers pour la basse. Les différences successives entre ces chances ne sont plus égales : chaque différence suivante vaut une moitié de la précédente. Leurs cinq valeurs totalisent encore un entre les deux bornes. Depuis deux, la chance d'atteindre cinq devient vingt-quatre trente-et-unièmes, au lieu de deux cinquièmes.
La moyenne de gestes depuis deux devient cent soixante-quatorze trente-et-unièmes. Elle est un peu inférieure à six, mais ne remplace pas la chance vingt-quatre trente-et-unièmes. Camille choisit cette autre préparation lorsqu'elle souhaite la nouvelle loi donnée, sans dire que ses signes auraient été observés plus souvent vers le haut sur un dé commercial. Nora garde les chances deux tiers et un tiers sur la fiche de définition. Les pages de catalogue ne fournissent aucune preuve de ce biais ; c'est une règle du parcours inventé, dont les équations ont été changées avant le résultat.
La durée moyenne et la chance de sortie ne se déduisent pas en divisant seulement la distance trois par l'avance moyenne un tiers. Ce quotient donnerait neuf gestes, alors que le parcours peut aussi terminer en zéro. Dans cette seconde loi, la position finale moyenne vaut cinq fois vingt-quatre trente-et-unièmes, soit cent vingt trente-et-unièmes. Son écart au départ deux vaut cinquante-huit trente-et-unièmes. Diviser cet écart par l'avance moyenne un tiers retrouve cent soixante-quatorze trente-et-unièmes. Nora garde les deux sorties dans le compte final, au lieu de supposer une arrivée certaine en cinq pour calculer la durée jusqu'à l'une des deux bornes.
Un geste sans déplacement compte encore avant la sortie
Camille reprend les signes symétriques, mais crée une nouvelle règle de geste : avec probabilité une moitié, le jeton reste sur place ; avec un quart il monte d'une position ; avec un quart il descend. Un geste sur place consomme une unité du compte, même s'il ne change aucun numéro. Pour les chances de sortie, l'égalité devient h(i) égal à une moitié de h(i), plus un quart de chaque chance voisine. En retirant la moitié commune, Nora retrouve les deux moitiés de la marche sans pause. Les chances des deux bornes restent donc deux cinquièmes et trois cinquièmes depuis deux.
Pour les gestes restants, le terme un ne peut pas être retiré avec cette moitié. L'égalité contient un plus une moitié de t(i), puis un quart des deux valeurs voisines. Après réarrangement, elle devient deux plus la moitié de chacune des deux voisines. Les moyennes sont donc doublées : huit, douze, douze et huit depuis les quatre positions intérieures. Camille reçoit douze pour le départ deux. Le parcours des positions ayant réellement changé peut ressembler à l'ancienne suite, mais le relevé des gestes comprend aussi les pauses. Nora refuse de retirer ces pauses de la durée annoncée tout en les conservant dans la procédure qui les a consommées.
Camille décide finalement de compter seulement les déplacements effectifs pour une autre demande, et appelle cette unité déplacement plutôt que geste. Elle retrouve alors la moyenne six et garde douze pour l'ancien compte. Une réalisation donnée, pause, plus, pause, moins, moins, moins, atteint zéro après six gestes mais quatre déplacements. Nora remet ces deux nombres ensemble. Le changement d'unité n'a pas accéléré le parcours donné ni supprimé ses deux pauses ; il a seulement changé quelles occurrences la nouvelle question demandait de compter. Les anciennes chances de sortie restent communes parce qu'aucune pause ne pouvait faire atteindre une borne différente.
Deux horloges de même moyenne ne dispersent pas les fins de la même manière
Camille propose une autre préparation où chaque déplacement de l'ancienne marche consomme exactement deux gestes : le premier choisit le signe, le second déplace le jeton. Elle garde les deux bornes comme fins après placement. Si l'ancien parcours avait N déplacements, le nouveau compte vaut exactement deux fois N. Sa moyenne est donc douze depuis deux, comme dans la préparation avec pauses aléatoires. Nora ne conclut pas que leurs comptes de gestes ont la même loi. Un parcours de trois plus sans pause termine le protocole à pauses en trois gestes, avec une probabilité positive ; la préparation à deux gestes par déplacement ne peut finir avant six.
Pour choisir entre ces deux horloges, Camille demande maintenant la plus petite moyenne du carré de l'écart à douze. Nora calcule d'abord le second moment de N dans l'ancienne marche. Depuis deux, il vaut cinquante-huit ; retrancher le carré de la moyenne six donne une variance vingt-deux. La préparation à deux gestes fixes multiplie chaque écart par deux et donne donc une variance quatre fois vingt-deux, soit quatre-vingt-huit. Avec les pauses, chaque déplacement effectif attend un nombre de gestes géométrique de moyenne deux et de variance deux. Pour un parcours possédant N déplacements, la variance conditionnelle de leur somme vaut deux N ; la variabilité de sa moyenne deux N ajoute quatre fois vingt-deux. Le total vaut douze plus quatre-vingt-huit, soit cent.
Nora remet la préparation à deux gestes fixes sous ce critère : moyenne douze dans les deux projets, mais dispersion quatre-vingt-huit au lieu de cent. Son calcul du second moment provient des mêmes quatre états : après un premier déplacement, le carré des gestes restants devient un plus deux fois leur nombre plus leur carré. Il en résulte des seconds moments trente-six, cinquante-huit, cinquante-huit et trente-six depuis les positions un à quatre. Camille garde ces quatre nombres avec les moyennes quatre, six, six et quatre pour vérifier la variance initiale. Elle ne déduit aucune borne maximale d'une variance plus petite ; les oscillations encore autorisées peuvent toujours prolonger le parcours.
Réfléchir en zéro retire une sortie que l'ancienne préparation possédait
Nora abandonne maintenant l'arrêt en zéro. Depuis zéro, le geste suivant va obligatoirement à un et compte un geste ; depuis les autres positions intérieures, les signes plus et moins restent équiprobables. Seul cinq termine le parcours. Camille ne peut plus remettre trois cinquièmes comme chance de finir en zéro : zéro est devenu une position de passage avec une règle propre. Nora conserve les occurrences où le jeton atteint zéro, mais elles ne ferment plus la demande. La possibilité de continuer depuis cette position a changé l'ensemble des fins, sans modifier les gestes qui avaient conduit jusque-là.
La moyenne restante depuis zéro doit désormais égaler un plus celle depuis un. Pour les positions un à quatre, les anciennes égalités de premier geste subsistent ; cinq vaut encore zéro. Les solutions sont vingt-cinq, vingt-quatre, vingt-et-un, seize et neuf depuis zéro à quatre. Depuis deux, Nora remet vingt-et-un. Camille souhaitait conserver six en supprimant seulement la mention de sortie basse, comme si les anciens parcours finissant en zéro demandaient aucun geste supplémentaire. Nora refuse : ces parcours doivent maintenant repartir vers un, puis traverser les positions jusqu'à l'unique sortie admise.
Le chiffre vingt-et-un ne vient pas d'une durée mesurée pour rebondir sur une pièce. Il satisfait la nouvelle condition de bord. Depuis deux, un plus la moitié de vingt-quatre plus la moitié de seize vaut vingt-et-un ; depuis zéro, un plus vingt-quatre vaut vingt-cinq. Camille vérifie ces deux places avant de choisir la préparation. Le compte depuis zéro est nécessaire parce qu'un parcours commencé en deux peut y arriver. Supprimer cet état du calcul au motif qu'il n'était pas le départ aurait retiré précisément la continuation que la nouvelle permission exigeait.
Recommencer depuis deux n'est pas rebondir vers un
Une dernière préparation garde cinq comme seule fin mais change la réponse à zéro : le geste suivant ramène directement le jeton à deux et compte un. Entre ces remises à deux, les gestes sont ceux de la première marche symétrique arrêtée à zéro ou cinq. Une tentative possède une durée moyenne six et une chance trois cinquièmes de terminer en zéro. Dans ce dernier cas, le nouveau protocole ajoute un geste de remise à deux puis une nouvelle tentative. Nora note e la moyenne totale depuis deux : elle doit satisfaire e égal à six plus trois cinquièmes fois un plus e.
Cette égalité donne deux cinquièmes de e égaux à trente-trois cinquièmes, donc e vaut trente-trois demis. Camille reçoit seize et demi gestes moyens, moins que les vingt-et-un du rebond vers un, mais davantage que les six jusqu'à une des deux bornes. Aucun nombre intermédiaire ne remplace ces trois remises : elles ont trois règles de fin et de reprise. Nora montre une réalisation qui atteint zéro en deux moins, revient à deux par un geste spécial, puis atteint cinq en trois plus. Ses six gestes comportent une remise directe de deux positions, qui n'appartenait pas à la règle réfléchissante.
Camille choisit le retour à deux pour cette dernière feuille, en conservant la première tentative et sa borne basse dans le relevé. Elle ne décrit pas les deux moins initiaux comme un détour annulé sans durée. Nora garde les tentatives précédentes et compte le geste spécial chaque fois qu'il se produit. Le parcours reste une préparation de papier, dont les probabilités et les permissions déterminent les résultats. La décision finale ne promet ni une partie réelle terminée en seize gestes ni une propriété de dés vendus : elle choisit précisément la continuation autorisée lorsque le jeton atteint zéro.