Une règle de choix peut être connue de l’autre personne sans que le résultat de son tirage lui soit montré. Pour un petit jeu après dîner, Nora souhaite comparer ces deux informations. Dire combien de cartes portent chaque lettre ne revient pas à retourner celle qui vient d’être choisie. La différence change ce que Camille peut décider en face, donc les points moyens que Nora peut protéger par sa préparation.
Notre jeu est entièrement créé sur papier. A, B et C sont des lettres de cartes fictives, sans valeur traditionnelle. Nora choisit une ligne, Camille une colonne ; les points de Camille sont l’opposé de ceux de Nora. Les tirages indiqués sont uniformes par identité et indépendants du choix adverse, sauf quand une information est expressément donnée avant ce choix. Aucun paquet réel, mélange ou partie jouée n’est observé. Nous utilisons un modèle classique de stratégies mélangées, sans invention revendiquée.
Piatnik présente des cartes.
Bicycle présente des cartes.
Modiano présente des cartes.
Ces pages ont été lues textuellement pour ces seules identités de catégorie. Elles ne donnent ni nos lettres ni notre barème. Nous n’avons inspecté aucune image ou technique de mélange. Les probabilités et les permissions de voir une carte appartiennent au jeu posé ici ; elles ne décrivent pas la qualité d’un matériel ou une pratique commerciale.
La même répartition peut protéger contre trois réponses différentes
Le barème de Nora est fixé avant la préparation. Avec sa ligne A, les colonnes A, B et C donnent respectivement zéro, moins deux et un. Avec sa ligne B, elles donnent deux, zéro et moins trois. Avec sa ligne C, elles donnent moins un, trois et zéro. Camille reçoit chaque fois le nombre opposé. Nora cherche à rendre aussi haute que possible sa plus petite moyenne parmi les réponses de Camille, choisies sans voir la ligne effectivement tirée. Le critère porte sur cette moyenne défavorable, pas sur un gain certain à chaque manche.
Nora essaie une carte de chaque lettre, tirée uniformément. Face à la colonne A, les trois scores zéro, deux et moins un donnent une moyenne d’un tiers. Face à B, moins deux, zéro et trois donnent également un tiers. Mais face à C, un, moins trois et zéro donnent moins deux tiers. Camille peut donc choisir C contre ce menu annoncé. Nora retire la promesse de moyenne au moins nulle. Employer les trois lettres ne suffisait pas : leurs chances égales ont laissé une colonne défavorable. Elle conserve ce menu comme essai écarté, avec ses trois moyennes plutôt qu’une seule moyenne calculée sur un adversaire supposé coopératif.
Elle prépare ensuite six identités : trois portent A, une B et deux C. Chacune a une chance sur six de sortir. Contre A, les trois cartes A ne changent rien, la carte B apporte deux et les deux C apportent moins deux ensemble : le total des six scores est zéro. Contre B, les trois A apportent moins six, les deux C six et B zéro. Contre C, les trois A apportent trois, B moins trois et les deux C zéro. Nora retient ce menu : chacune des colonnes donne désormais une moyenne nulle, alors que les six scores de chacune ne sont pas tous nuls.
Camille peut aussi tirer sa colonne selon une répartition de son choix, indépendamment de la carte de Nora. Nora garde le même menu. Une moyenne construite à partir de trois moyennes nulles reste nulle, quelles que soient les chances attribuées aux colonnes. Elle n’a donc pas besoin de deviner laquelle Camille préfère pour choisir entre deux versions de son propre paquet. Le menu à trois, un et deux a égalisé précisément les réponses adverses. Nora écarte une proposition qui attribuait arbitrairement une chance égale aux colonnes pour juger son essai précédent : cette hypothèse aurait caché la réponse C que Camille pouvait réellement retenir.
Pourquoi cette moyenne ne peut pas être relevée au-dessus de zéro
Nora souhaite savoir si une autre préparation pourrait protéger une moyenne strictement positive. Camille dispose d’une réponse de contrôle : choisir elle aussi A avec une chance d’une moitié, B avec un sixième et C avec un tiers. Face à la ligne A de Nora, cette réponse donne moins un tiers par B, plus un tiers par C, soit zéro. Face à B, elle donne un par A, moins un par C, soit zéro. Face à C, elle donne moins une moitié par A, plus une moitié par B, soit encore zéro. Toute répartition de Nora entre ces lignes rencontre donc une moyenne nulle contre cette réponse permise.
Nora accepte cette borne supérieure. Si un menu lui assurait une moyenne positive contre chacune des colonnes, il lui donnerait aussi une moyenne positive contre leur mélange de contrôle, puisque celui-ci utilise les trois avec des chances positives. Le calcul précédent l’empêche. Son menu à six atteint zéro et cette réponse interdit de dépasser zéro ; le choix est donc optimal pour la règle cachant le résultat du tirage. Nora ne présente pas sa préparation comme une simple amélioration trouvée parmi quelques essais. Elle remet avec elle la réponse adverse qui borne tous les menus, y compris ceux qu’elle n’a pas listés.
La répartition est également déterminée par cette exigence. Appelons a, b et c les chances des lignes A, B et C, avec une somme égale à un. Les trois moyennes contre les colonnes sont deux b moins c, moins deux a plus trois c, et a moins trois b. Pour protéger zéro, chacune doit être au moins nulle. Leur moyenne avec les poids de contrôle reste pourtant zéro. Comme ces trois poids sont positifs, aucune des trois ne peut être positive sans qu’une autre soit négative. Elles doivent donc toutes être exactement nulles ; Nora écarte l’idée qu’un excédent contre une colonne pourrait compenser un déficit contre une autre dans son critère.
Ces égalités donnent c égal à deux b, puis a égal à trois b. Avec leur somme égale à un, b vaut un sixième, a une moitié et c un tiers. Nora garde donc la répartition trois, un, deux, ou toute représentation qui lui donne exactement les mêmes chances. Douze identités réparties en six A, deux B et quatre C conviendraient également ; quatre A, quatre B et quatre C ne conviendraient pas. Ce n’est pas le nombre de cartes seul qui résout le choix. Nora conserve la proportion imposée par les trois réponses, sans transformer toute augmentation du paquet en une amélioration du jeu.
Retirer une lettre change la meilleure préparation disponible
Une autre version interdit à Nora de choisir C, mais laisse les trois colonnes à Camille. Les points restent ceux du même barème. Nora doit maintenant répartir ses chances entre A et B seulement. Elle ne conserve pas la promesse zéro auprès de ce menu réduit : la preuve précédente imposait une chance positive à C. Ce retrait est une nouvelle permission du jeu, et non la disparition accidentelle d’une carte après un tirage déjà accompli.
Si Nora donne une chance t à A, B reçoit un moins t. Contre les colonnes A, B et C, ses moyennes deviennent deux fois un moins t, moins deux t, et quatre t moins trois. Elle compare B et C, les deux réponses qui peuvent la limiter. Pour t inférieur à une moitié, quatre t moins trois est inférieur à moins un ; pour t supérieur à une moitié, moins deux t est inférieur à moins un. Toute préparation hors du milieu laisse donc une de ces réponses descendre sous moins un. Nora ne choisit pas t en maximisant seulement la première moyenne, qui pourrait monter alors que l’une des autres se dégrade.
À t égal à une moitié, les trois moyennes sont un, moins un et moins un. Nora retient autant de chances pour A que pour B et inscrit moins un comme meilleure moyenne protégée dans cette version. La colonne A lui serait favorable, mais Camille peut retenir B ou C et ne lui doit pas cette faveur. Une fiche annonçait qu’en retirant C, Nora empêcherait son propre score moins un contre A. Nora la corrige : supprimer cette ligne a aussi supprimé ses trois points contre B, dont le mélange précédent avait besoin pour compenser les A. Le nouveau choix reste optimal, mais il répond à un jeu réduit qui protège moins bien.
Cette branche utilise donc deux cartes équiprobables, A et B, au lieu du paquet à six de la première. Nora ne remplace pas le résultat moins un par celui de zéro obtenu avec une lettre désormais interdite. La permission conservée autorise le choix à parts égales et le barème conservé fournit ses deux colonnes limitantes. Nous laissons brève cette remise du menu : la distinction remplie est la preuve du meilleur mélange disponible après la suppression d’une ligne, pas un inventaire de petits paquets numériques.
Montrer la répartition ne revient pas à montrer la carte sortie
Revenons aux trois lettres autorisées. Dans la première règle, Camille connaît les trois A, un B et deux C du menu retenu, mais elle choisit sa colonne avant de voir la carte de Nora. Ce renseignement public n’a pas supprimé la protection de zéro : tous les calculs précédents lui permettaient déjà de connaître la répartition. Une règle nouvelle lui montre au contraire la carte effectivement sortie avant son choix. Nora examine cette version séparément, car Camille peut maintenant adapter sa colonne à chaque ligne, plutôt que retenir une même réponse sans la connaître.
Si Nora montre A, Camille choisit B et lui donne moins deux. Si Nora montre B, Camille choisit C et lui donne moins trois. Si Nora montre C, Camille choisit A et lui donne moins un. Avec le paquet trois, un, deux, les six identités donnent alors un total de moins onze : trois fois moins deux, une fois moins trois et deux fois moins un. La moyenne est moins onze sixièmes. Nora retire donc zéro de cette nouvelle fiche. La réponse de Camille n’est plus une colonne unique appliquée aux six possibilités ; ce sont trois colonnes conditionnées par le renseignement qu’elle reçoit effectivement avant d’agir.
Nora cherche la meilleure préparation sous cette révélation complète. Toute chance donnée à A expose moins deux, toute chance donnée à B moins trois, et C expose moins un. Une moyenne de ces trois résultats ne peut pas dépasser le plus haut d’entre eux, moins un. Nora choisit donc C avec certitude. Camille répond A et la branche donne moins un. Le menu qui était optimal lorsque la carte restait cachée ne l’est plus après son ouverture. Nora ne conserve pas une part de B pour garder la diversité du premier paquet : sous le critère présent, cette part abaisserait la moyenne que le choix C atteint déjà.
La perte vient de la possibilité de prendre le minimum après avoir reçu la ligne. Dans le jeu caché, Camille prenait une colonne puis les scores de plusieurs lignes entraient dans sa moyenne ; des scores de signes opposés s’y compensaient. Dans le jeu révélé, elle retient d’abord la plus mauvaise colonne de chaque ligne, et la moyenne porte seulement sur ces trois minima. Nora remplace donc la feuille de trois moyennes égales par celle des trois réponses conditionnelles. Ce changement de calcul n’accuse pas le tirage d’avoir cessé d’être uniforme. Les chances du paquet peuvent rester les mêmes tandis que la réponse disponible à l’adversaire s’est enrichie.
Un renseignement partiel peut déjà supprimer l’avantage du premier mélange
Une dernière règle montre seulement si la carte de Nora est C. Camille reçoit oui lorsque C sort, non lorsque A ou B sort ; elle choisit ensuite sa colonne. Elle ne voit donc pas toujours la lettre exacte. Nora repart d’abord du paquet trois, un, deux pour comparer ce signal avec les deux règles précédentes. Nous ne lui donnons aucune autre observation, aucun deuxième tirage ni moyen de déplacer une carte après la réponse.
Dans le groupe oui, C est certain et Camille choisit A, donnant moins un. Ce groupe pèse un tiers dans la préparation initiale. Dans le groupe non, les trois A et l’unique B donnent des chances de trois quarts et un quart. La colonne A y donnerait une moitié en moyenne ; B donnerait moins une fois et demie ; C donnerait zéro. Camille choisit donc B lorsque le signal est non. Nora reçoit une moyenne globale de moins un tiers pour le groupe oui, plus moins un pour le groupe non, soit moins quatre tiers. Elle retire l’argument selon lequel un signal ne révélant pas toutes les lettres laisserait intact le mélange optimal du jeu caché.
Nora cherche alors une nouvelle préparation. Elle utilise les chances a, b et c sans imposer encore leur ancienne proportion. Le groupe C contribue moins c à sa moyenne défavorable. Dans le groupe des deux autres lettres, les contributions des colonnes A, B et C sont deux b, moins deux a et a moins trois b. Ces contributions incluent déjà les chances de parvenir à ce groupe : elle n’a pas besoin de diviser par a plus b, puis de multiplier à nouveau. Si ce groupe a une chance nulle, ses trois contributions sont simplement nulles. Nora choisit la plus petite des trois, parce que Camille peut retenir la colonne correspondante dès qu’elle reçoit non.
Si a est au moins b, la réponse B donne moins deux a, au plus moins a moins b. Si a est au plus b, la réponse C donne a moins trois b, également au plus moins a moins b. L’une de ces deux réponses suffit donc toujours à faire descendre la contribution du groupe non à moins a moins b ou plus bas. Avec celle de C, moins c, la moyenne globale est au plus moins un. Nora accepte cette borne pour tous les paquets de la branche partiellement révélée. Elle ne suppose pas que Camille doive utiliser la même colonne après oui et non pour préserver les compensations dont le premier menu profitait.
Cette borne est atteinte si a et b sont égaux. Dans le groupe non, les contributions de B et C valent alors toutes deux moins deux a, tandis que celle de A vaut deux a. Avec c égal à un moins deux a, le total défavorable est moins deux a moins c, soit moins un. Nora peut donc choisir une carte de chaque lettre à chances égales et atteindre moins un dans cette règle, alors que ce même menu protégeait seulement moins deux tiers lorsque la ligne était cachée. Elle garde les deux évaluations auprès de leurs renseignements différents. La symétrie entre A et B répond maintenant au groupe que le signal laisse ouvert ; l’ancienne compensation avec C ne peut plus agir à travers deux réponses adverses séparées.
Le meilleur choix n’est plus unique. Nora pourrait prendre autant de A que de B sans aucun C, ou choisir C seul, ou conserver une chance intermédiaire de C en gardant A et B égaux. Toutes ces préparations protègent moins un. Si A et B ont des chances différentes, l’une des deux inégalités précédentes devient stricte : Camille fait descendre la moyenne au-dessous de moins un. Nora peut donc changer la part de C parmi les meilleurs menus, mais ne peut pas changer indépendamment les deux autres parts et prétendre rester dans cette famille. Cette latitude précise distingue la règle partielle de celle, cachée, qui imposait les trois proportions.
Pour la fiche retenue du renseignement partiel, Nora choisit une carte de chaque lettre. Camille prend B après non et A après oui ; les lignes A, B et C donnent alors moins deux, zéro et moins un, soit moins un en moyenne. Nora inscrit ces deux réponses dans la règle active et écarte l’ancienne colonne unique C qui aurait ignoré le signal. La réalisation sur A recevrait moins deux, sans contredire la moyenne protégée de moins un. Ce rappel de moyenne et d’issue reste bref : la matière nouvelle est le choix conditionné effectivement donné à Camille et la famille de préparations optimales que Nora a vérifiée.
Nora remet trois fiches distinctes. Le résultat caché conserve le mélange trois, un, deux et protège zéro. La révélation complète retient C seul et protège moins un. Le signal C ou non retient les chances égales choisies parmi une famille et protège également moins un. Deux règles ont la même meilleure valeur sans imposer les mêmes menus. Les fournisseurs consultés ne certifient aucune de ces fiches : leur comparaison tient aux points, aux chances et aux renseignements créés, conservés avec la décision à laquelle chacun appartient.