Une fiche d’activité peut proposer de payer à chaque utilisation ou de prendre un outil pour toutes les suivantes. Camille prépare ici cette alternative pour une rencontre fictive. Elle ignore combien de séances auront effectivement lieu. Nora veut lui donner une règle utilisable depuis ce renseignement incomplet, puis vérifier ce que cette règle garantit. Elles ne cherchent pas à prédire la fin en faisant comme si le nombre de séances était déjà inscrit au verso.
Les objets, les séances et les points sont stipulés. Aucun achat, contrat ou usage de matériel réel n’est décrit. Les modèles de décision sont classiques, sans innovation revendiquée. Les catégories consultées servent seulement à situer la fiche dans un décor de papeterie.
Postalco présente de la papeterie.
Delfonics présente de la papeterie.
OOLY présente des stylos.
Ces pages ne fournissent aucun prix ni règle de location pour notre exercice. Aucune image ou qualité de produit n’entre dans le choix.
L’outil acquis couvre la séance présente
Chaque séance peut recevoir un outil pour un point, sans droit conservé après elle. Une acquisition demande quatre points juste avant une séance ; elle fournit l’outil pour cette séance et toutes les suivantes, sans coût supplémentaire. L’outil acquis n’est ni revendu ni remboursé. Les séances sont identiques pour ces permissions. Avant de décider, Camille sait seulement que la séance présente aura lieu. Elle apprend ensuite si une autre commence. Le nombre total n est un entier positif, sans probabilité donnée.
Si Nora connaissait n avant la première séance, elle pourrait payer n points pour les utilisations séparées, ou quatre pour l’acquisition initiale. Le meilleur paiement serait donc le plus petit de n et quatre. Pour trois séances connues, Nora choisirait trois utilisations ; pour huit, l’acquisition initiale. Ce choix informé sert à mesurer les règles de Camille, mais reste indisponible à celle-ci. Nora ne lui prête pas après coup le renseignement qui permettrait d’acheter dès la première uniquement dans les longues rencontres.
Camille propose d’attendre d’avoir payé quatre utilisations avant d’acquérir. Nora remplit une suite de cinq séances : Camille paie quatre, puis quatre avant la cinquième, soit huit points. Le choix informé aurait demandé quatre. Dans une suite de quatre, Camille n’aurait payé que quatre ; le surcoût apparaît lorsque sa règle attend encore une séance pour changer. Nora retire donc l’affirmation « dès que les deux prix ont été égalés, l’attente n’a rien coûté ». Les quatre utilisations sont déjà payées et ne deviennent pas un acompte sur l’acquisition.
Nora compare une règle plus précise : payer les trois premières utilisations, puis acquérir juste avant la quatrième si elle a lieu. Une rencontre finissant après une, deux ou trois séances coûte respectivement un, deux ou trois, exactement comme le choix informé. Dès qu’une quatrième arrive, le total devient sept et reste sept, même si la rencontre dure cent séances. Camille retient cette fiche plutôt que celle qui attendait la cinquième. Elle sait toutefois ce qu’elle accepte : si la fin tombe à quatre, sept dépasse déjà quatre. Acheter n’a pas récupéré les trois points précédents.
Le critère choisi par Camille porte sur un quotient : son paiement divisé par le meilleur paiement informé pour le même nombre de séances. Avec cette règle, le quotient vaut un avant la quatrième, puis sept quarts à partir d’elle. Elle demande le plus petit quotient maximal possible, sans moyenne sur une distribution de durées. Nora garde ainsi un plafond comparatif, sept quarts, plutôt qu’une promesse d’être toujours aussi peu coûteuse que quelqu’un qui aurait reçu la fin d’avance. La suite de quatre atteint réellement ce plafond ; une suite plus longue ne l’aggrave pas puisque le meilleur paiement reste quatre.
Pour vérifier que déplacer simplement le seuil ne ferait pas mieux, Nora note k, la première séance avant laquelle une règle déterministe acquiert. Les k moins une séances antérieures coûtent chacune un ; l’acquisition ajoute quatre. Si la rencontre s’arrête précisément à k, le total vaut k plus trois. Pour k égal à un, deux ou trois, le quotient est respectivement quatre, cinq demis ou deux. Pour k égal à quatre, il vaut sept quarts. Pour k au moins cinq, le choix informé vaut quatre, et k plus trois sur quatre vaut au moins deux. Aucun de ces seuils n’abaisse donc sept quarts.
Camille suggère une conduite qui ne serait pas appelée un seuil, mais déciderait chaque matin depuis le nombre de séances déjà reçues. Nora lui présente une suite qui continue autant que nécessaire : avant la première acquisition, chaque matin ne fournit que la même réponse, une séance supplémentaire présente. La conduite a donc un premier jour d’acquisition k sur cette suite, si elle acquiert un jour. On peut fermer la rencontre ce jour-là et retrouver le contrôle précédent. Si elle n’acquiert jamais, ses paiements n augmentent sans borne tandis que le choix informé reste quatre. Donner un autre nom à la conduite ne crée aucune observation permettant de distinguer deux suites avant leur fin.
Tirer le seuil ne revient pas à tirer la durée
Dans une nouvelle fiche, Nora permet de tirer une fois le seuil parmi un, deux, trois et quatre. Le tirage précède la première séance et est indépendant du nombre total, fixé sans le regarder. Les probabilités seront des règles de la feuille, pas des fréquences relevées. Camille veut comparer le paiement moyen sur ce tirage au meilleur paiement pour chaque durée possible. Le maximum de ces quotients reste son critère. Elle ne donne donc pas une chance particulière à une rencontre courte ou longue.
Une sélection uniforme des quatre seuils paraît d’abord équitable. Pour une seule séance, elle conduit aux paiements quatre, un, un et un, dont la moyenne vaut sept quarts. Pour deux, les paiements sont quatre, cinq, deux et deux ; leur moyenne treize quarts, divisée par deux, donne treize huitièmes. Pour trois, on obtient quatre, cinq, six et trois, soit une moyenne de neuf demis et un quotient de trois demis. Pour quatre ou davantage, les paiements quatre, cinq, six et sept donnent onze demis, soit onze huitièmes du choix informé. Camille retire l’idée que quatre seuils de même chance équilibreraient les quatre durées.
Nora prépare un tirage différent avec cent soixante-quinze billets distincts : vingt-sept indiquent un, trente-six deux, quarante-huit trois et soixante-quatre quatre. Chaque billet possède la même chance. Pour une séance, les billets un paient quatre et tous les autres un : le paiement moyen vaut deux cent cinquante-six sur cent soixante-quinze. Pour deux, la moyenne devient cinq cent douze sur cent soixante-quinze ; pour trois, sept cent soixante-huit sur cent soixante-quinze. Chaque division par la durée retrouve le même quotient, deux cent cinquante-six sur cent soixante-quinze. Camille garde les billets plus nombreux sur les seuils tardifs, sans prétendre que leur nombre exprime une préférence des convives.
Dès quatre séances, les quatre seuils ont tous acquis. Le paiement moyen vaut mille vingt-quatre sur cent soixante-quinze et ne change plus. Le choix informé vaut quatre, donnant encore deux cent cinquante-six sur cent soixante-quinze. Nora a donc contrôlé toutes les durées : les trois premières séparément, puis toute la queue à partir de quatre. Ce quotient est inférieur à sept quarts, mais concerne la moyenne sur le tirage. Avec le billet un et une rencontre d’une séance, Camille paierait quatre contre un ; ce résultat possible n’a pas disparu parce que les autres billets réduisent la moyenne.
Camille tire pour une réalisation le seuil deux, puis la rencontre finit après deux séances. Elle paie un pour la première et quatre avant la deuxième : cinq contre les deux du choix informé. Nora inscrit le quotient cinq demis de cette réalisation, supérieur à sept quarts et au nouveau quotient moyen. Elle conserve pourtant le contrôle moyen annoncé avant le tirage ; elle ne remplace pas le billet reçu par le seuil trois qui aurait évité l’acquisition. La fiche distingue ce qui est garanti en moyenne pour chaque durée fixée et ce qui peut arriver sur un billet réellement choisi.
Nora vérifie également que cette répartition ne laisse pas un meilleur mélange parmi les quatre seuils autorisés. Elle compose, seulement pour cette preuve, quatre poids sur les durées un à quatre : seize, vingt-quatre, vingt-sept et cent huit, divisés par cent soixante-quinze. Pour chacun des quatre seuils fixes, la moyenne pondérée de ses quotients vaut exactement deux cent cinquante-six sur cent soixante-quinze. Tout mélange des seuils conserve cette même moyenne, en intervertissant les deux sommes finies. Au moins un de ses quatre quotients doit atteindre cette moyenne ou la dépasser. Le tirage retenu les égalise tous et atteint donc la borne.
Camille ne transforme pas ces poids de preuve en pronostic sur la fin des séances. Ils n’avaient pas été donnés au début de l’exercice, et leur rôle consiste à contester toute promesse de quotient maximal plus petit dans la famille des quatre seuils. Nora précise aussi cette famille : elle n’a pas étudié tous les tirages imaginables sur des acquisitions après la quatrième ou des observations nouvelles. La preuve remplie ferme les quatre choix permis, et la conduite choisie couvre toutes les durées fixes. Elle ne s’appuie ni sur une durée moyenne secrète ni sur une préférence uniforme qu’elle ajouterait aux participants.
La fin ne peut pas être choisie après avoir vu le billet
Léon propose de révéler le seuil à l’organisateur, puis de lui laisser fermer la rencontre précisément à cette séance. Nora effectue les quatre réalisations : avec le seuil un, la fin est un et le quotient quatre ; avec deux, il est cinq demis ; avec trois, deux ; avec quatre, sept quarts. Le même tirage de billets donne alors une moyenne des quotients égale à cinquante-huit vingt-cinquièmes. Cette valeur dépasse le quotient annoncé pour chaque durée fixée indépendamment. Nora refuse donc de transférer la garantie au nouveau dispositif, bien que les probabilités des billets n’aient pas changé.
La différence se voit sans cacher les choix. Une rencontre d’une séance fixée à l’avance gardait cent quarante-huit billets qui ne conduisaient pas à l’acquisition. Dans la proposition de Léon, la rencontre d’une séance arrive seulement avec un billet qui fait acquérir dès cette séance. Le regroupement des billets derrière la même durée n’est plus celui du calcul précédent. Camille refuse d’annoncer que la loi des billets suffit à déterminer le paiement moyen conditionnel pour chaque fin. La manière dont la fin reçoit le billet fait partie des données ; elle n’est pas une simple présentation des mêmes quatre listes.
Nora retire également une confusion de quotients dans ce dispositif réactif. La moyenne des paiements vaut mille vingt-quatre sur cent soixante-quinze ; la moyenne du meilleur paiement informé vaut quatre cent quatre-vingt-dix-neuf sur cent soixante-quinze. Leur quotient est mille vingt-quatre sur quatre cent quatre-vingt-dix-neuf. Il n’égale pas cinquante-huit vingt-cinquièmes, obtenu en divisant séparément dans chaque réalisation puis en faisant la moyenne. Camille transmet les deux nombres avec leurs opérations. Changer la position de la division ne rétablit pas l’ancien plafond : les deux dépassent deux cent cinquante-six sur cent soixante-quinze.
Pour la fiche remise, Camille conserve donc une durée fixée indépendamment du tirage et laisse le billet privé jusqu’au choix qu’il commande. Elle ne déduit aucune confidentialité réelle de cette consigne sur papier. Si l’organisateur observait la conduite et adaptait effectivement la fin, il faudrait contrôler cette autre règle avant de lui attribuer un plafond. Nora garde la proposition réactive comme réalisation calculée puis retirée, plutôt qu’en effacer les quatre issues gênantes. Le modèle indique exactement quelle séparation permettait la moyenne de départ ; une étiquette « aléatoire » n’aurait pas remplacé cette séparation.
Une séance future confirmée donne une autre règle
Dans une dernière branche, l’organisateur renseigne réellement une chose de plus avant chaque décision : après la séance présente, une autre aura-t-elle lieu ? Cette réponse est exacte dans notre feuille. Elle ne donne pas le nombre total ni toute la suite. Nora abandonne les billets pour chercher une conduite déterministe avec ce renseignement. Camille ne reçoit plus seulement une présence actuelle, et peut éviter une acquisition lorsqu’elle sait que cette séance est la dernière. Nous ne présentons pas cette réponse comme une prédiction ou un engagement obtenu dans une rencontre réelle.
Nora propose de payer les deux premières utilisations. Avant la troisième, Camille acquiert si une quatrième est confirmée ; sinon elle paie seulement la troisième. Pour une, deux ou trois séances, le paiement reste un, deux ou trois. Pour quatre ou davantage, il vaut deux plus quatre, soit six. Le quotient maximal devient trois demis, atteint pour toutes les rencontres d’au moins quatre séances. Dans une rencontre de trois, la présence de la troisième seule n’aurait pas justifié ce choix ; c’est la confirmation effective de la suivante qui empêche l’acquisition inutile de quatre points à la fin.
Camille compare cette règle avec l’acquisition avant la troisième dès que celle-ci se présente, sans demander la réponse nouvelle. Cette ancienne conduite paierait six pour une rencontre de trois, contre trois informés, soit un quotient deux. Les mêmes mots « acquérir à la troisième » peuvent ainsi couvrir deux décisions différentes. Nora inscrit sur la nouvelle fiche la question et ses deux suites : dernière séance annoncée, utilisation seule ; quatrième confirmée, acquisition avant la troisième. Camille remet ces deux branches renseignées, sans réduire leur différence à un déplacement du seuil d’un jour.
Pour contrôler la limite trois demis, Nora considère une conduite quelconque recevant cette réponse d’un jour. Sur une rencontre qui continue toujours, son premier jour d’acquisition est k, si elle acquiert. À ce moment, une séance supplémentaire était confirmée. On peut donc fermer la rencontre à k plus un sans contredire le renseignement reçu. Le paiement vaut k plus trois et le choix informé le plus petit de k plus un et quatre. Pour k un, deux, trois ou au moins quatre, leurs quotients valent deux, cinq tiers, trois demis ou au moins sept quarts. Ne jamais acquérir laisserait encore un quotient sans borne. La nouvelle règle atteint donc la meilleure limite de ce contrôle déterministe.
Nous remplissons enfin deux remises. Une rencontre de trois donne les réponses « encore une » avant la première et la deuxième, puis « dernière » avant la troisième : Camille paie trois utilisations et n’acquiert rien. Une rencontre de quatre donne encore « une autre » avant la troisième : elle acquiert, paie six en tout et utilise l’outil acquis pour la quatrième sans point supplémentaire. Nora conserve trois dans la première remise et six dans la seconde. Elle ne transforme pas le second résultat en acquisition initiale à quatre après avoir découvert la fin, ni le premier en confirmation qu’elle savait trois dès le commencement.
Les fiches gardent ainsi leurs renseignements et leurs critères : aucune durée connue, un billet indépendant d’une durée fixe, ou une séance future réellement confirmée. Leurs plafonds ne sont pas des paiements promis identiques à chaque réalisation. Camille choisit et remet une conduite depuis ce qui lui est donné, tandis que Nora garde les comparaisons qui peuvent la certifier. Les catégories de papeterie consultées ne fournissent aucun de ces barèmes ni aucune garantie sur un outil réel.
Connaître la fin exacte n’est pas nécessaire pour égaler le choix informé
Nora examine une permission supplémentaire, distincte des réponses d’un jour : avant la première décision, Camille reçoit seulement la réponse exacte à « au moins trois autres séances auront-elles lieu après celle-ci ? ». Si la réponse est oui, elle acquiert immédiatement pour quatre. Sinon, la rencontre possède au plus trois séances, et elle décide de payer chaque utilisation jusqu’à sa fin. Aucun nombre exact n’est demandé dans l’un ou l’autre cas. Nora vérifie les deux ensembles : pour toutes les durées d’au moins quatre, l’acquisition initiale égale le meilleur paiement quatre ; pour toutes les durées d’au plus trois, les utilisations totalisent n et égalent également ce meilleur paiement. Camille remet donc une règle de quotient un depuis un seul renseignement binaire, sans carnet révélant la dernière séance. La garantie d’égalité dépend de cette réponse attestée avant le premier point ; ce n’est pas la durée entière qui devait nécessairement être annoncée.
Léon voudrait remplacer cette question par « au moins deux autres séances auront-elles lieu ? », en promettant encore l’égalité parfaite. Nora place devant lui deux rencontres, de trois et de quatre séances. Dans les deux, la réponse initiale est oui. Pour trois, une acquisition initiale coûterait quatre alors que les utilisations seules coûtent trois ; égaler le meilleur paiement interdit donc cette acquisition. Mais, pour quatre, commencer par une utilisation paie déjà un point sans acompte. Acquérir plus tard demande au moins cinq au total, et ne jamais acquérir en demande quatre : cette dernière conduite reste effectivement optimale pour quatre. Nora ne conclut donc pas encore à une impossibilité depuis ces deux durées. Elle remplace la seconde par cinq, qui donne toujours la même réponse initiale oui. Sans acquisition initiale, cinq utilisations coûtent cinq et toute acquisition ultérieure coûte au moins cinq, contre quatre informés. Les rencontres de trois et de cinq exigent ainsi deux premières actions opposées avec le même renseignement. Camille retire la promesse d’égalité pour la question de deux séances futures et conserve celle de trois, dont les deux réponses séparent précisément les groupes qui demandent des actions différentes.