Un parcours peut rejoindre chaque table et laisser un passage inutilisé. Il peut aussi parcourir toute la liste donnée, mais demander un retour qui répète une liaison déjà prise. Pour préparer une feuille de service, Léa commence donc par préciser ce que le parcours doit couvrir, où il commence et où il termine. Elle compare ensuite des suites complètes, avec leurs répétitions effectivement comptées. La présence de tous les noms de lieux ne remplace pas le relevé des passages que la demande voulait utiliser.
Tout cet atelier est construit sur papier. A, B, C, D et E désignent des lieux fictifs autour d’un service de table, sans correspondance avec un logement ou un établissement. Les passages permis, leurs sens et les autorisations sont stipulés. Aucune distance, durée, charge, porte, manipulation alimentaire ou circulation réelle n’est mesurée. Nos parcours ne certifient ni sécurité ni accessibilité. Un déplacement « réalisé » ci-dessous appartient seulement à la scène créée, distincte de la préparation encore à choisir.
Muuto présente des tables.
GUBI présente des tables.
Tom Dixon présente de la verrerie.
Ces portées commerciales ont été textuellement consultées. Aucun meuble de ces offres ne reçoit notre liste de passages. Nous ne reprenons ni plan d’installation ni règle de circulation d’un fabricant. Dans le modèle, traverser A–B ou B–A utilise la même liaison lorsque les deux sens sont permis. Lorsque nous donnons une flèche, seul son sens est autorisé. Les comptes portent sur ces utilisations déclarées, sans déduire un déplacement du seul dessin d’une ligne.
Passer par les trois lieux ne suffit pas à prendre leurs trois liaisons
Une première liste donne A–B, B–C et C–A, utilisables dans les deux sens. Léa doit commencer en A, terminer en A et prendre chaque liaison au moins une fois. Elle retient A–B–C–A : trois utilisations couvrent les trois liaisons. Une proposition A–B–C–B–A aurait visité les mêmes trois lieux, mais seulement deux liaisons distinctes, A–B et B–C, chacune répétée. Elle retire cette proposition pour la couverture demandée, sans lui enlever la visite réelle de C. Ce contraste reste un cadre bref avant les demandes qui changent effectivement le parcours.
Revenir au départ oblige à reprendre le seul passage d’un lieu terminal
Nous ajoutons à ce triangle la liaison C–D, dans les deux sens, sans autre liaison pour D. Les quatre passages doivent être utilisés. Une première demande autorise un départ en C et une fin en D, en prenant chacun une seule fois. Léa choisit C–B–A–C–D. Elle termine donc dans le lieu terminal, après avoir retrouvé C à la fin du triangle. Le parcours est rempli en quatre utilisations ; il ne promet pas encore un retour à son premier lieu.
L’hôte demande maintenant un départ en A et une fin également en A. Léa retient A–B–C–D–C–A, soit cinq utilisations. Elle conserve les deux traversées de C–D dans le relevé, une pour rejoindre D, l’autre pour le quitter. Elle retire la mention « chaque passage une seule fois » de cette préparation. Ce retour n’est pas une nouvelle liaison D–A trouvée sur le dessin : il passe encore par C. Le triangle permet ensuite de retrouver A par la liaison C–A, qui doit elle aussi être couverte.
Léa explique pourquoi quatre utilisations ne peuvent pas remplir cette demande fermée. Pour avoir pris C–D et être revenue en A, elle doit entrer en D puis en sortir. D ne possède qu’une liaison, donc celle-ci apparaît au moins deux fois. Les trois passages du triangle doivent en outre apparaître au moins une fois chacun : cinq utilisations au minimum. La suite choisie atteint cette limite. Léa ne remplace donc pas un détour supposé inutile par un retour direct inexistant pour retrouver le nombre quatre de la première demande.
Le compte porte sur les liaisons, pas sur le nombre de visites de C. Dans A–B–C–D–C–A, C est rencontré avant et après D. Léa conserve ces deux étapes parce qu’elles raccordent les deux usages de C–D aux passages du triangle. Elle retire une feuille qui supprimait le second C au motif que le lieu avait déjà été visité. Cette suppression produirait D–A à la fin, liaison absente. La feuille remise garde donc le lieu répété et le passage répété à leurs places, au lieu de transformer une déduplication des noms en parcours plus court.
Une nouvelle réponse de l’hôte interdit de reprendre C–D, tout en demandant encore sa couverture. Si le retour en A est maintenu, Léa refuse cette réponse comme demande réalisable dans la liste donnée. Aucun choix d’ordre ne permet de quitter D par une autre liaison. Elle ne donne pas C–D–C deux noms différents pour les rendre chacun unique. L’interdiction vise l’usage répété du même passage dans les deux sens, et non seulement la répétition de la même écriture orientée.
L’hôte accepte alors de terminer en D, en conservant le départ en A. Léa choisit A–B–C–A–C–D. C–D est pris une seule fois, à la fin ; C–A est pris deux fois. Elle conserve cette autre répétition, que la nouvelle réponse n’interdisait pas. La feuille abandonne le retour au départ, mais ne prétend pas retrouver automatiquement quatre utilisations. Le choix donné comporte cinq. Il a déplacé le passage répété vers le triangle et changé le lieu final, plutôt que de retirer toutes les répétitions par le seul accord de finir ailleurs.
Dans cette nouvelle demande, une suite en quatre utilisations commencerait et terminerait nécessairement aux deux lieux qui possèdent un nombre impair de liaisons, C et D. Au milieu d’une suite sans répétition, chaque arrivée dans un lieu doit être appariée à un départ ; seuls ses deux bouts peuvent rester sans paire. C possède trois liaisons et D une, tandis qu’A et B en ont deux. Le départ demandé en A ne convient donc pas à cette suite de quatre. Léa garde cinq avec sa suite effectivement choisie, sans appeler le lieu de départ un détail que le minimum aurait permis de déplacer silencieusement.
Une liaison nouvelle doit rejoindre la liste à couvrir
Une branche différente maintient le départ et le retour en A, ainsi que l’interdiction de répéter C–D. L’hôte fournit cette fois une liaison D–A nouvelle, utilisable dans les deux sens. Elle fait expressément partie des passages à couvrir, avec les quatre anciens. Léa doit donc préparer une suite pour cinq liaisons, et pas seulement trouver une sortie commode après D. Le nouvel accord modifie à la fois les communications et la liste demandée.
La première proposition A–B–C–D–A revient bien en A sans répéter C–D. Léa la refuse néanmoins pour la liste complète : elle ne prend jamais C–A. Elle ne retire pas cette ancienne liaison de la demande parce que D–A a fourni un retour plus pratique. Les quatre utilisations de cette proposition satisfont seulement quatre des cinq éléments. La nouvelle feuille conserve donc C–A comme passage encore à couvrir, au lieu de présenter la fin retrouvée comme une preuve de couverture générale.
Léa choisit A–B–C–A–C–D–A. Elle prend les cinq liaisons données et répète seulement C–A, pour six utilisations au total. C–D demeure unique, et le dernier D–A effectue le nouveau retour autorisé. L’hôte accepte cette préparation. Léa retire l’ancien retour D–C de la feuille active : il aurait violé l’interdiction conservée. Elle ne mélange pas la sortie nouvelle de la proposition courte et le compte de cinq de l’ancien parcours fermé. La suite remise décrit six utilisations dans la seule liste augmentée.
La répétition restante est nécessaire si l’on veut couvrir les cinq liaisons et revenir en A. Dans cette liste, A et C possèdent chacun trois liaisons ; B et D deux. Un parcours fermé utilisant chacune une seule fois aurait autant d’arrivées que de départs à chaque lieu, ce qui ne peut pas apparier les trois liaisons d’A et de C. Répéter C–A fournit une occurrence supplémentaire à chacun de ces deux lieux et permet la suite choisie. Léa conserve donc six comme minimum rempli, plutôt qu’un compte de cinq qui supposait deux extrémités différentes.
La fiche destinée à l’hôte distingue maintenant les deux réponses à l’interdiction sur C–D. La première avait accepté une fin en D, avec l’ancienne liste de quatre passages. La seconde conserve un retour en A, mais ajoute D–A et couvre cinq passages. Léa retire un intitulé commun qui annonçait seulement « C–D non répété » sans ces différences. La condition est bien remplie dans les deux préparations ; elle n’identifie ni leur lieu final ni leur liste. Cette précision laisse chaque décision rattachée aux communications et à la couverture réellement choisies.
Un morceau déjà parcouru ne peut pas être remplacé par le meilleur plan initial
Un autre cas donne deux triangles qui partagent C : A–B, B–C, C–A, puis C–D, D–E et E–C. Chaque passage est utilisable dans les deux sens. Au départ d’A, un plan A–B–C–D–E–C–A prend les six liaisons une seule fois et revient en A. Nous gardons cette possibilité initiale. La scène suivante reçoit toutefois trois déplacements déjà accomplis : A–B–C–A. Léa retrouve la personne en A, après le tour du premier triangle, avant de choisir sa continuation.
Elle retire la proposition qui remplace ces trois premiers déplacements par le début du plan initial à six. Ce remplacement ferait aller de C à D au troisième passage, alors que la scène donnée a déjà fait revenir de C à A. Léa conserve A–B–C–A dans l’historique et commence sa préparation restante depuis A. C–D, D–E et E–C n’ont pas encore été pris. Le travail ne consiste donc plus à choisir six passages depuis le commencement ; il consiste à compléter la couverture après un morceau exact que l’on ne peut pas effacer.
L’hôte maintient une fin en A sans limiter les répétitions. Léa choisit alors de reprendre A–C, de faire C–D–E–C, puis de revenir C–A. La suite complète devient A–B–C–A–C–D–E–C–A : huit utilisations. Les trois passages nouveaux du second triangle apparaissent une fois chacun. C–A apparaît trois fois sur l’ensemble, une dans le morceau accompli et deux dans la continuation. Léa remet ce compte complet, sans annoncer deux pour C–A en ne regardant que la partie encore préparée.
Huit atteint le minimum sous cette demande. Après le retour accompli en A, il faut au moins un passage pour rejoindre C, seul lieu partagé avec le triangle encore à couvrir. Les trois liaisons restantes demandent au moins trois utilisations. Il faut enfin au moins un passage pour retrouver A. Ces cinq utilisations nouvelles s’ajoutent aux trois conservées. La suite choisie les réalise. Léa ne traite donc pas le détour comme une preuve que la liste de six serait impossible depuis le départ ; c’est le morceau déjà accompli qui a changé la question restante.
L’hôte impose maintenant un maximum de deux utilisations par liaison sur toute la scène. La continuation précédente n’est plus recevable : C–A atteignait trois. Léa retire cette proposition, même si elle ne répétait C–A que deux fois dans sa feuille de travail restante. Le compte ne repart pas de zéro lorsque la préparation commence. Les passages A–B, B–C et C–A ont déjà chacun une utilisation acquise. Le nouvel accord doit conserver ces trois occurrences, puis vérifier ce qu’il permet d’ajouter à chacune.
Léa choisit la nouvelle continuation A–B–C–D–E–C–A. Avec le morceau déjà accompli, la suite complète est A–B–C–A–B–C–D–E–C–A : neuf utilisations. A–B, B–C et C–A apparaissent désormais deux fois chacune ; les trois liaisons du second triangle une fois. L’hôte accepte cette remise. Léa retire huit du total actif et conserve neuf avec la limite choisie. La réponse n’efface pas le premier retour en A : elle remplace l’accès direct à C dans la continuation par deux passages, afin de ne pas donner à C–A une troisième utilisation.
Une continuation de seulement cinq utilisations, qui donnerait encore huit au total, ne pourrait remplir cette nouvelle limite. Les trois passages restants du second triangle en occupent déjà trois. Il ne resterait qu’un passage pour accéder à C depuis A et un pour revenir : tous deux seraient C–A. Avec son occurrence initiale, cela donnerait encore trois. Léa garde donc les six utilisations de la nouvelle continuation et son total neuf. Elle ne reprend pas le minimum ancien en transférant l’une des occurrences de C–A vers un passage différent sans changer le trajet.
La remise finale contient le morceau réalisé et la continuation retenue séparément, puis la suite complète à neuf. Léa écarte une présentation qui montre seulement A–B–C–D–E–C–A avec le titre « parcours entier ». Cette liste est ici la continuation, pas l’ensemble : le premier triangle a déjà été parcouru auparavant. Les occurrences ajoutées ne deviennent pas des noms nouveaux de liaisons. L’hôte peut retrouver celles qui sont prises une deuxième fois, tandis que les trois passages non encore couverts au début de la préparation trouvent maintenant leur unique utilisation.
Avec des sens imposés, un retour existant ne suffit pas à couvrir toute la liste
Une dernière liste donne quatre passages orientés : A vers B, B vers C, C vers A et A vers C. Leurs sens inverses ne sont pas autorisés. Léa doit couvrir chacune de ces flèches, en commençant en A. Elle peut choisir A–B–C–A–C pour une fin en C : les quatre flèches apparaissent une fois. La présence de C vers A montre également qu’un retour depuis C est possible dans cette liste. Elle ne donne pas encore un parcours fermé qui utiliserait chaque flèche une seule fois.
L’hôte demande ensuite une fin en A. Léa retient A–B–C–A–C–A, cinq utilisations, avec C vers A deux fois. Elle retire le plan à quatre qui s’arrêtait en C, plutôt que lui ajouter le mot « retour » sans passage. Le relevé distingue bien C vers A de A vers C : ces deux flèches sont deux éléments demandés, et l’une n’est pas l’écriture renversée qui autoriserait automatiquement l’autre. La répétition du retour suit la liste orientée donnée, sans fabriquer une flèche B vers A pour raccourcir la suite.
Une réponse nouvelle interdit de reprendre C vers A. Léa refuse alors le parcours fermé pour la liste inchangée. C reçoit deux passages qui doivent être couverts, B vers C et A vers C, mais ne possède qu’une seule flèche de sortie, C vers A. Pour terminer en A après avoir reçu ces deux arrivées, il faudrait quitter C deux fois. L’unique sortie ne peut être utilisée deux fois sous l’interdiction. Ce refus ne dit pas qu’A serait inaccessible depuis C : le retour existe, mais ne suffit pas à compenser les deux arrivées imposées par la couverture complète.
L’hôte accepte d’abord une autre réponse, la fin en C. Léa choisit de nouveau A–B–C–A–C et conserve les quatre flèches une seule fois. Elle retire l’ancien départ supplémentaire de C vers A de cette feuille. Cette dernière arrivée en C n’a plus besoin d’être suivie d’une sortie, puisqu’elle est maintenant l’extrémité acceptée. Léa remet donc une liste complète avec sa fin nouvelle, sans prétendre que la même suite fermerait encore le parcours. La condition sur l’unique utilisation du retour reste active et trouve ici une réponse explicite.
Dans une autre branche, l’hôte maintient au contraire une fin en A et propose une seule flèche nouvelle, C vers B. Léa ne peut toujours pas remettre un parcours fermé couvrant toute cette liste sans reprendre C vers A. C possède désormais deux sorties distinctes, mais A conserve deux sorties à couvrir et une seule entrée, C vers A, utilisable une fois. Un retour fermé en A devrait y équilibrer ces départs et ces arrivées. Répéter B vers C ou C vers B ne lui fournit aucune entrée supplémentaire en A. Léa retire donc l’annonce « une nouvelle sortie de C suffit » : l’ajout local n’a pas fermé la demande complète.
L’hôte fournit alors B vers A en plus de C vers B, et demande la couverture des six flèches. Léa retient A–B–C–A–C–B–A. Chacune apparaît une fois ; C vers A n’est pas répétée et la suite revient en A. Elle retire de la remise la feuille ne comportant que la première nouvelle flèche. L’accord porte désormais sur deux communications ajoutées et demandées, pas sur une seconde possibilité laissée hors du parcours. La solution choisie utilise effectivement C vers B puis B vers A pour achever la partie que l’ancienne liste aurait ramenée par C vers A une deuxième fois.
La couverture à six garde donc un autre bilan que le parcours fermé ancien à cinq. Celui-ci avait quatre flèches distinctes, dont une répétée ; celui-là six distinctes, sans répétition. Léa retire un classement qui appelait automatiquement le parcours à cinq plus économique parce qu’il possédait une utilisation de moins. La nouvelle demande interdisait précisément sa répétition. Elle conserve la comparaison des deux feuilles avec leurs flèches et leurs conditions, au lieu de détacher le total du contenu qu’il couvre. Aucun parcours à cinq ne peut couvrir les six flèches désormais demandées.
Répartir la couverture entre deux personnes change la demande de parcours
Nous reprenons dans une continuation séparée les deux triangles et le morceau A–B–C–A déjà accompli par Léa. Une autre personne, Nils, est expressément présente en C au début de cette continuation. Aucun parcours antérieur de Nils n’est donné ni ajouté au compte. L’hôte accepte maintenant deux parcours distincts, chacun terminé à son propre lieu de départ, pour couvrir ensemble les six liaisons. Il ne demande plus que Léa les couvre seule depuis A. La limite de deux utilisations par liaison concerne encore leur ensemble, avec le morceau conservé de Léa.
Léa choisit de s’arrêter en A après ses trois passages accomplis et confie à Nils les trois liaisons restantes. Nils accepte la demande, puis suit C–D–E–C dans notre scène. Il revient à son propre départ en C. Léa ne rejoint donc pas C pour commencer elle-même le second triangle et ne prépare pas un trajet de Nils depuis A, où le dossier ne le plaçait pas. La remise contient le tour terminé de Léa et celui réalisé par Nils. Chacun couvre son groupe de trois passages, plutôt que chacun prétende avoir couvert toute la liste.
Les six liaisons apparaissent maintenant une seule fois sur l’ensemble des deux tours, pour six utilisations. La limite de deux est remplie sans retirer la première occurrence de C–A du morceau de Léa. Elle retire pourtant la phrase « Léa a accompli le parcours complet en six depuis A ». Le résultat est collectif et possède deux départs, A et C, ainsi que deux fins correspondantes. Nils a permis de couvrir le second triangle depuis sa position donnée ; il n’a pas raccourci la continuation que Léa aurait dû faire seule. La feuille conserve son nom avec ces trois passages, au lieu d’attribuer leurs utilisations à Léa pour annoncer son ancien objectif comme réussi.
L’hôte reçoit finalement une répartition nominative : les trois premières liaisons prises par Léa, les trois autres par Nils, avec leurs deux suites et leurs fins. Il retire la demande de parcours unique de cette branche, mais la conserve dans les comparaisons à huit et neuf. La présence de tous les passages dans le compte collectif ne rétablit pas cette condition retirée. Les trois résultats décrivent ainsi des demandes effectivement différentes : continuer seule sans limite nouvelle, continuer seule sous la limite de deux, ou couvrir ensemble depuis deux positions données. Aucun trajet supplémentaire de Nils n’est inventé pour donner au résultat collectif la portée d’un relevé de tous ses déplacements antérieurs.
Deux passages entre les mêmes lieux peuvent posséder deux identités
Un cadre bref donne enfin deux liaisons distinctes entre A et B, nommées e1 et e2, puis B–C, nommée e3, et C–A, nommée e4. Le parcours qui prend e1, e3, e4 puis e1 utilise quatre passages, mais ne couvre pas e2. Léa remplace son dernier choix par e2 pour la demande d’utiliser les quatre identités. Les lieux successifs restent A–B–C–A–B ; les passages ne sont pourtant plus la même liste. Ce cas ne fournit pas un nouveau volume par un simple changement de code : il rappelle seulement de conserver les identités quand plusieurs communications partagent leurs extrémités.
Le relevé de service sur papier garde finalement une demande de couverture avec un départ, une fin et les répétitions autorisées. Un retour peut demander de reprendre une liaison terminale ; un morceau déjà accompli peut retirer le minimum du plan initial ; une flèche nouvelle peut déplacer un manque plutôt que le résoudre. Les suites choisies possèdent leurs usages effectivement comptés et leurs accords déclarés. Elles restent des préparations de notre scène créée, sans faire d’une ligne dessinée une communication retrouvée ni d’un total calculé une circulation réelle déjà vérifiée.