Après le dîner, Nora ouvre un carnet pour préparer un petit jeu de placement. Trois marques sont déjà tracées ; une quatrième doit leur servir de point commun. Personne ne parcourra réellement ces lignes. La page permet seulement de comparer des longueurs définies, sans détour, obstacle ou vitesse de déplacement. La décision concerne le dessin du jeu, pas l'organisation d'un service réel.
Nora choisit un repère et une unité abstraite. Les marques sont A=(−3,0), B=(3,0) et C=(0,4). Pour un point proposé X, elle additionne les trois distances ordinaires AX, BX et CX. Elle veut réduire cette somme, sans mettre les distances au carré et sans donner priorité au trajet le plus long. Changer l'une de ces deux règles créerait une autre demande.
Les trois pages identifient des carnets. Coordonnées et règles sont définies ici ; aucune propriété matérielle ni méthode commerciale n'est adoptée pour composer le jeu.
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Une réponse exacte entre les trois marques
Les deux marques du bas sont symétriques. Nora commence donc par examiner les points X=(0,y) situés sur leur axe, entre le bas et C. La somme vaut alors 2√(9+y²)+4−y. Ce choix initial réduit le calcul, mais regarder cet axe ne suffirait pas, à lui seul, à prouver qu'aucun point placé ailleurs ne ferait mieux. La réponse devra ensuite résister à toutes les positions du plan.
Lorsque y augmente légèrement, les deux longueurs vers A et B augmentent chacune au rythme y/√(9+y²), tandis que celle vers C diminue au rythme un. L'équilibre demande donc 2y/√(9+y²)=1. Avec y positif, l'équation donne 4y²=9+y², donc y=√3. Les longueurs vers A et B valent chacune 2√3 ; celle vers C vaut 4−√3. La somme proposée est ainsi 4+3√3. Nora inscrit cette valeur exacte, plutôt qu'une suite de décimales qui pourrait masquer l'égalité à vérifier.
Ce calcul indique aussi quel déséquilibre déplacerait le point sur l'axe. En dessous de √3, les deux augmentations réunies ne compensent pas la diminution vers C : monter réduit la somme. Au-dessus de √3, elles dépassent cette diminution : continuer à monter l'augmente. Nora peut donc expliquer le placement sans dire que les trois longueurs doivent être égales. Elles ne le sont pas : la marque supérieure est plus proche du point choisi que les deux marques inférieures. Ce sont les effets d'un petit déplacement qui s'équilibrent, pas les distances prises séparément.
Trois directions qui certifient toutes les positions
Pour contrôler les déplacements hors de l'axe, Nora relève les directions unitaires allant de X vers les marques. Vers A, le vecteur est (−√3/2,−1/2) ; vers B, (√3/2,−1/2) ; vers C, (0,1). Chacun a une longueur égale à un. Leurs composantes horizontales s'annulent, et leurs composantes verticales donnent −1/2−1/2+1=0. Cette annulation utilise des directions ramenées à la même longueur, et non les trois flèches entières du dessin.
La distinction devient concrète si Nora additionne par erreur les déplacements bruts. Les flèches A−X, B−X et C−X ont pour somme (0,4−3√3), qui n'est pas nulle. Elle pourrait alors annoncer qu'il faut descendre, et abandonner le point pourtant optimal. Mais une longue liaison n'apporte pas, à elle seule, une force de déplacement proportionnelle à sa longueur lorsque le coût est cette longueur ordinaire. La variation pertinente suit sa direction unitaire. Nora conserve X et remplace dans sa feuille de contrôle les trois déplacements bruts par les trois vecteurs normalisés ; cela corrige effectivement la décision proposée.
Elle obtient une preuve globale à partir de ces mêmes vecteurs. Pour n'importe quel autre point Y, la distance de Y à une marque P est au moins la projection du vecteur P−Y sur la direction unitaire allant de X à P. La longueur d'une flèche ne peut être plus petite que sa projection sur une direction de longueur un. En additionnant les trois inégalités, les termes contenant Y disparaissent, puisque les trois directions ont une somme nulle. Le membre restant vaut exactement AX+BX+CX, soit 4+3√3. Même un point éloigné de l'axe ou du triangle ne peut donc donner une somme inférieure.
Cette preuve lui permet de distinguer un résultat minimal d'un simple point stationnaire aperçu dans un calcul. Elle n'a pas balayé une grille de positions ni supposé que le meilleur point était forcément au milieu du triangle. La même borne s'applique à toute position Y. Pour avoir l'égalité, chacune des trois projections doit coïncider avec la longueur correspondante : P−Y doit rester orienté dans la direction utilisée pour cette marque. Les directions vers A et B ne sont pas parallèles ; leurs lignes ne se rencontrent qu'en X. Un autre point ne peut satisfaire simultanément ces égalités. La réponse est donc unique.
Les produits scalaires des trois directions, prises deux à deux, valent −1/2. Les trois angles sont ainsi de 120 degrés. Nora peut ajouter ce contrôle à son dessin, mais elle garde la preuve par les projections : l'angle ne vient pas d'une apparence régulière de la page. Il découle de trois directions unitaires de même poids dont la somme s'annule. Cette restriction compte, car une marque portant une demande double ne contribuera plus de la même manière.
Un cercle et une moyenne répondent à d'autres questions
La moyenne des trois coordonnées donne (0,4/3). À ce point, la somme des longueurs est (2√97+8)/3, un peu plus grande que 4+3√3. Le centre du cercle passant par les trois marques est (0,7/8) ; ses trois distances valent 25/8 et leur somme 75/8. Ces essais servent ici de contrôles des objectifs. Les méthodes de moyenne et de cercle ne sont pas de nouvelles opérations à créditer : elles avaient déjà servi dans d'autres jeux. Nora ne transforme pas leur résultat en réponse à une somme de longueurs ordinaires.
Quand la réponse rejoint une marque
Nora ouvre une branche séparée du jeu : C est remplacée par C′=(0,1), tandis que A et B restent à leur place. Cette fois, la réponse est C′ elle-même. Sa distance aux deux marques du bas vaut √10, et sa distance à la marque supérieure vaut zéro. La somme est 2√10. Les trois directions unitaires précédentes ne peuvent pas être recopiées telles quelles, car une liaison de longueur zéro n'a pas de direction unitaire définie.
À C′, les directions vers A et B sont (−3/√10,−1/√10) et (3/√10,−1/√10). Leur somme vaut (0,−2/√10), de longueur strictement inférieure à un. La distance vers la marque confondue avec C′ peut opposer à un déplacement une variation dont l'amplitude maximale est un. Il suffit donc de choisir, pour cette liaison nulle, le vecteur (0,2/√10), qui reste dans le disque unité. Les trois contributions s'annulent. Nora n'invente pas une direction vers un point situé au même endroit : elle vérifie qu'une contribution de norme au plus un peut compenser les deux directions réellement définies.
Elle peut rendre cette vérification encore plus précise sans déplacer fictivement C′. Pour toute position Y, la somme des deux distances vers A et B est au moins 2√10+(2/√10)(y−1). La troisième distance est exactement la longueur du déplacement de C′ vers Y. Comme y−1 est au moins l'opposé de cette longueur, le total est au moins 2√10+(1−2/√10) fois la longueur C′Y. Le coefficient supplémentaire est positif. Tout départ, quelle que soit sa direction, augmente donc strictement la borne au-delà de 2√10. La position confondue avec la marque n'est ni une exception admise faute de calcul ni un point parmi plusieurs réponses : elle est l'unique minimum.
Cette branche oblige Nora à modifier la fiche destinée au joueur. Une consigne « tracer trois liaisons de directions distinctes faisant 120 degrés » exclurait la bonne réponse. Elle remplace cette consigne par la vérification de la somme des longueurs et par les deux formes de certificat : trois directions définies qui s'équilibrent pour une réponse intérieure ; deux directions compensables par une contribution de norme au plus un pour la réponse confondue avec une marque. Le changement porte sur ce que le joueur est autorisé à tracer. La troisième liaison est désormais laissée de longueur zéro, plutôt qu'inventée pour préserver une règle d'angle inadéquate.
Une demande double déplace aussi la réponse
Sur une autre feuille, Nora revient aux marques initiales A, B et C=(0,4), mais annonce que la liaison vers C compte deux fois. Le coût devient AX+BX+2CX. Ce double poids est une règle explicite du jeu, sans fréquence de visite ou besoin réel déduit d'un carnet. Le point intérieur trouvé pour trois contributions égales ne répond plus à cette nouvelle demande.
À C, les directions vers A et B sont (−3/5,−4/5) et (3/5,−4/5), de somme (0,−8/5). Une liaison nulle comptant deux fois peut fournir une contribution de norme au plus deux. Elle peut donc compenser cette somme de longueur 8/5. Nora vérifie aussi la valeur : les deux distances non nulles valent cinq et le coût total à C vaut dix. Le double poids ne crée aucune longueur supplémentaire au point C, puisque deux fois zéro reste zéro.
Pour une autre position Y, les deux distances vers A et B sont au moins 10+(8/5)(y−4). En ajoutant deux fois la distance CY et en utilisant y−4≥−CY, Nora obtient une borne de 10+(2−8/5)CY. Le coefficient vaut 2/5 et reste positif. Le minimum est donc exactement dix, atteint uniquement en C. Elle ne se contente pas de comparer C à l'ancien X : le certificat écarte simultanément toutes les positions concurrentes. Sur la feuille à demande double, elle déplace réellement le point commun vers C et retire la liaison centrale positive.
Le seuil qui permet cette réponse apparaît dans le même calcul. Pour un poids κ sur C, la compensation au sommet est possible dès que κ atteint 8/5. Au-dessous de ce seuil, la résultante des deux directions dépasse ce que la liaison nulle peut fournir ; le certificat au sommet ne tient plus. Au-dessus, le coefficient κ−8/5 est positif et assure immédiatement l'unicité en C. Nora distingue soigneusement le seuil exact du cas strict : lorsque ce coefficient est nul, la borne ne suffit plus, à elle seule, à exclure tous les autres points. Elle ne réemploie pas une preuve d'unicité qui reposait sur sa positivité.
Un poids intermédiaire de 3/2 fournit un contrôle de cette bascule. Il est inférieur à 8/5 : le sommet C ne convient pas. À l'intérieur, la relation d'équilibre devient 2y/√(9+y²)=3/2, donnant y=9/√7, qui reste inférieur à quatre. Les deux directions vers le bas ont chacune une composante verticale −3/4 ; la contribution pondérée vers C vaut 3/2 et les compense. Le coût est 6+3√7/2. Nora conserve donc une liaison supérieure positive sur cette feuille. Elle n'applique plus l'angle de 120 degrés aux trois directions sans poids : leur équilibre porte sur deux contributions unitaires et une contribution de longueur 3/2.
Une mise à jour normalisée n'est pas la moyenne des marques
Nora essaie ensuite de produire un point candidat par une opération calculable. Pour une position Z distincte de toutes les marques, elle donne à chaque marque un poids égal à l'inverse de sa distance à Z, puis calcule la moyenne des coordonnées avec ces poids. Une position qui reste inchangée par cette opération satisfait la somme nulle des directions unitaires. La règle utilise les distances depuis le point essayé, et non des poids fixés une fois pour toutes à partir du seul dessin.
En partant de Z=(0,0), les distances sont trois, trois et quatre. Les poids sont donc 1/3, 1/3 et 1/4. Leur somme vaut 11/12. Les contributions horizontales s'annulent ; la contribution verticale vaut (1/4)×4=1. La première mise à jour donne ainsi Z₁=(0,12/11). Ce résultat diffère de la moyenne non pondérée (0,4/3), mais il diffère aussi de la réponse exacte (0,√3). Nora inscrit Z₁ dans une colonne « proposition calculée », pas dans celle des réponses certifiées. Une seule opération correcte n'autorise pas à annoncer qu'elle a résolu le problème.
À la réponse exacte X, les poids valent 1/(2√3), 1/(2√3) et 1/(4−√3). La composante verticale de la moyenne pondérée est bien √3 : en multipliant le dénominateur par √3, on trouve 1+√3/(4−√3), soit 4/(4−√3), exactement le numérateur. Cette égalité explique pourquoi la normalisation des flèches et la mise à jour par distances inverses décrivent le même équilibre intérieur. Nora utilise ce contrôle comme liaison entre les deux calculs, sans prétendre avoir démontré une vitesse de convergence de toutes les itérations possibles.
La branche aplatie révèle un obstacle concret pour cette procédure. Si Nora part directement de C′, l'inverse de la distance à C′ demanderait de diviser par zéro. Supprimer cette marque pour pouvoir continuer ne serait pas une réparation neutre : la somme des distances aux seules A et B est minimale sur tout le segment AB, et C′ n'est pas sur ce segment. Ajouter arbitrairement une petite distance changerait également les poids. Nora conserve les trois demandes et interrompt cette formule à son entrée singulière. Elle emploie le certificat direct au sommet, qui donne la bonne réponse sans division impossible.
Cette intervention ne rejette donc pas une position parce qu'un calcul intermédiaire est indisponible. Elle sépare la règle de production d'un candidat de la règle permettant de juger ce candidat. C′ satisfait le problème original et échoue seulement au domaine de la formule utilisant les distances inverses. À l'inverse, Z₁ est dans ce domaine et reste insuffisant comme réponse exacte. Nora place ces deux cas côte à côte : un point légitime exigeant un autre contrôle, et un point calculable qui n'est pas encore optimal. Le joueur peut ainsi choisir le bon contrôle selon la position obtenue.
Garder les demandes distinctes sur les feuilles
Nora range la feuille initiale avec X=(0,√3), la feuille aplatie avec X=C′, et celle de demande double avec X=C. Les trois réponses concernent des sommes de longueurs ordinaires, mais les repères et les poids ne sont pas interchangeables. Chaque feuille conserve ses propres coordonnées, son coût et son certificat. La page du jeu n'est ni une mesure d'un trajet réel ni une recommandation concernant un produit : ses décisions sont celles du modèle explicitement posé.
Au seuil, une borne constante ne décide pas de l'unicité
Nora ouvre enfin deux feuilles concernant exactement un seuil de compensation. La première conserve A=(−3,0), B=(3,0), C=(0,4), avec le poids 8/5 sur C. La seconde place A=(0,0), B=(0,2), C=(0,4), avec le poids deux sur C. Elle ne compare pas leurs coûts entre eux ; elle demande, dans chacune, si le point commun peut réellement glisser après avoir atteint le coût minimal.
Sur la première feuille, la borne précédente donne dix, sans supplément positif multipliant CY. C atteint effectivement dix. Cette disparition du supplément ne fournit pourtant aucun autre point optimal. Pour atteindre dix ailleurs, il faudrait que les deux inégalités de projection vers A et B soient chacune des égalités. Y devrait donc appartenir à la ligne passant par C et A, et à celle passant par C et B, avec les orientations requises. Ces lignes distinctes ne se rencontrent qu'en C. Tout autre Y rend au moins une projection strictement plus petite que la longueur correspondante ; les autres termes ne peuvent compenser cette perte, puisque la borne les a déjà minorés. C demeure ainsi l'unique réponse au poids exact 8/5. Nora teste aussi (0,3) : son coût vaut 6√2+8/5, supérieur à dix car √2 dépasse 7/5. Elle retire donc la permission de faire glisser le point d'une unité, tout en conservant sa borne constante et son poids exact.
La feuille alignée donne une autre réponse au seuil. Pour tout Y, AY+CY est au moins AC, soit quatre, et BY+CY est au moins BC, soit deux. Leur somme minore donc AY+BY+2CY par six, coût effectivement atteint en C. Pour avoir l'égalité dans les deux comparaisons, Y doit appartenir simultanément aux segments AC et BC. Leur intersection est maintenant le segment BC entier. Si Y=(0,t), avec deux≤t≤quatre, le coût vaut t+(t−2)+2(4−t)=six. Nora remet donc toute cette plage de points : B, C et leurs positions intermédiaires conviennent. Une position sous B ou hors de la ligne manque au moins une égalité et ne rejoint pas ce minimum. Ici, elle autorise le glissement qui avait été refusé sur la première feuille. La contribution au seuil ne suffit donc pas à annoncer une plage libre ; cette plage vient de l'intersection effective des conditions d'égalité, différente lorsque les repères sont alignés.