Camille prépare cinq fiches A, B, C, D et E pour un exercice de classement. Chaque paire reçoit exactement une flèche, depuis la fiche choisie dans cette paire vers l'autre. Une flèche sortante ajoute un point au total de sa fiche. Les résultats sont fictifs : ils ne représentent ni une compétition, ni une préférence mesurée, ni la qualité d'un plat. Nora reçoit d'abord les totaux seulement et doit décider s'ils peuvent provenir d'un ensemble complet de résultats, puis ce qu'ils permettent réellement de retrouver.
Les références suivantes fournissent seulement leurs catégories textuelles. Aucune image n'est examinée et aucun procédé artistique ne détermine les flèches de cet exercice.
P1 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338320 : Drawings.
P2 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338330 : Drawings.
P3 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338350 : Drawings.
Il existe dix paires entre cinq fiches. Chaque résultat attribue un point exactement, donc la somme des cinq totaux doit être dix. Chaque total est un entier de zéro à quatre. Les cycles sont permis : A peut être choisie face à B, B face à C et C face à A. Nous n'exigeons pas un ordre transitif caché derrière les flèches. Une liste de totaux triés servira à contrôler la possibilité d'une réalisation ; lorsqu'un nom est reçu avec son total, nous conserverons ensuite cette association.
Les bornes individuelles ne contrôlent pas un groupe
La première proposition donne les totaux 0, 0, 3, 3, 4 à A, B, C, D et E. Tous sont entre zéro et quatre et leur somme vaut dix. Nora refuse pourtant cette liste. A et B se rencontrent obligatoirement dans l'une des dix paires ; la flèche entre elles donne un point à l'une des deux. Elles ne peuvent donc avoir toutes deux zéro dans un relevé complet. Aucun choix des neuf autres résultats ne retire ce point. Camille garde les deux contrôles réussis, bornes et somme, mais retire la proposition entière : ils n'étaient pas suffisants pour son existence.
Le défaut se lit sur les deux plus petits totaux. Pour un groupe de k fiches, les paires internes sont k fois k moins un, divisé par deux. Chacune donne un point à l'intérieur du groupe, indépendamment du sens de sa flèche. Le total du groupe doit donc être au moins ce nombre ; il peut avoir reçu en plus des points contre des fiches extérieures. En rangeant les totaux par ordre croissant, Nora vérifie les groupes des k plus petits. Dans la proposition refusée, les deux premiers totalisent zéro alors que leur paire interne impose au moins un. Ce contrôle nomme un manque collectif que chaque borne individuelle avait laissé passer.
Nora ne prend pas la moyenne deux des cinq totaux pour réparer leur affectation. Cette moyenne est la même pour toutes les listes de somme dix ; elle effacerait précisément la demande de deux fiches à zéro. La commande reçue ne lui permet pas de redistribuer les points entre noms avant d'examiner les résultats. Elle conserve le refus avec A et B, sans imaginer une paire absente ou un match nul qui produirait zéro point. Ces deux modifications changeraient le modèle d'une flèche pour chaque paire, plutôt que d'en fournir une réalisation. La préparation suivante recevra une nouvelle liste explicitement donnée.
Une réalisation conserve les noms derrière les totaux
Camille donne désormais 1, 1, 2, 3, 3. Les premiers totaux cumulés sont un, deux, quatre, sept et dix. Ils dépassent ou atteignent respectivement les nombres de paires internes zéro, un, trois, six et dix. Nora remplit néanmoins les résultats au lieu de s'arrêter à ces inégalités. Elle choisit A face à E ; B face à A ; C face à A et B ; D face à A, B et C ; E face à B, C et D. Cette liste contient exactement dix flèches. Chaque paire apparaît une fois et aucune n'est reprise dans le sens inverse comme un onzième résultat.
Le contrôle des totaux retrouve un pour A, grâce à E ; un pour B, grâce à A ; deux pour C, grâce à A et B ; trois pour D, grâce à A, B et C ; trois pour E, grâce à B, C et D. Nora remet donc cette réalisation à Camille. Elle ne décrit pas E comme supérieure à toutes les fiches sous prétexte qu'elle possède un plus grand total : A a précisément été choisie face à E. D et E possèdent le même total trois, mais leur paire n'est pas indécise ; E y reçoit le point. Le total d'une fiche agrège plusieurs résultats sans devenir une règle qui produirait chacun d'eux.
Pour nos cinq fiches, l'audit parcourt les mille vingt-quatre choix possibles des dix sens de flèches. Les listes triées obtenues sont exactement les neuf listes passant les bornes, la somme dix et les contrôles de groupes. Ce constat ferme une vérification finie de taille cinq ; il ne constitue pas ici une preuve générale pour un nombre quelconque de fiches. La réalisation remise ferme déjà la demande 1, 1, 2, 3, 3 sans cette extension. Nora garde la portée de son inventaire avec le nombre de paires examinées, plutôt que d'utiliser le résultat de cette énumération comme une autorisation de reconstruire automatiquement tous les futurs relevés plus grands.
Une égalité de groupe force ses résultats extérieurs
La commande suivante donne 1, 1, 1, 3, 4. Les trois petites fiches A, B et C totalisent trois points, exactement le nombre de leurs trois paires internes. Il ne reste donc aucun point pour elles contre D ou E. Nora en déduit les six résultats extérieurs : D est choisie face à A, B et C, et E face à A, B et C. Ce n'est pas une préférence ajoutée pour rendre la réalisation facile. Si une petite fiche était choisie face à l'une des grandes, son groupe recevrait un quatrième point, au-delà du total trois déjà imposé par ses paires internes.
Dans A, B et C, chacune doit obtenir exactement un point. Nora peut choisir B face à A, A face à C et C face à B. Le cycle inverse donnerait également un point à chacune. D a déjà ses trois points contre les petites et ne peut en recevoir un quatrième ; E a déjà trois et doit atteindre quatre. La paire D–E est donc orientée de E vers D. Nora remet ce résultat avec le cycle choisi. Elle distingue les sept flèches que les totaux ont forcées et les trois petites flèches pour lesquelles deux orientations cycliques restent possibles. Une partie rigide du relevé n'a pas rendu tout son intérieur unique.
Cette conséquence d'égalité explique aussi une nouvelle proposition incompatible. Camille souhaite garder ces cinq totaux tout en donnant A choisie face à D. Nora refuse ce renseignement supplémentaire : les trois paires de A, B et C continuent à produire trois points internes, et A contre D en ajouterait un. Le groupe devrait alors totaliser au moins quatre. Changer l'orientation du petit cycle ne pourrait retirer aucun point à l'intérieur ; il pourrait seulement déplacer leur attribution. La correction nécessaire porte donc sur le nouveau résultat A contre D ou sur les totaux reçus, pas sur un ordre plus habile des trois résultats internes.
Des totaux nommés peuvent encore désigner plusieurs relevés
Repartons d'une feuille distincte à quatre fiches. Les totaux nommés sont A un, B un, C deux et D deux ; leur somme six correspond aux six paires. Nora remplit un premier relevé : A choisie face à B, B face à C, C face à A, D face à A, D face à B, C face à D. Les trois premières flèches forment un cycle, les trois suivantes ferment les paires avec D. A obtient son point contre B, B contre C, C contre A et D, D contre A et B. La liste reçue est donc satisfaite sans réordonner les noms pour obtenir les totaux.
Nora construit un second relevé en inversant les trois flèches du petit cycle : B est choisie face à A, C face à B et A face à C. Les résultats avec D restent inchangés. Chacune des trois petites fiches perd une victoire intérieure et en reçoit une autre ; leurs totaux ne changent pas. D n'est pas touchée. Camille reçoit encore 1, 1, 2, 2, mais la paire A–B a changé de sens. Nora refuse donc de retrouver cette paire en lisant seulement les deux totaux un et un. Elle conserve les deux relevés complets comme réalisations indistinguables par la donnée reçue.
L'inventaire des soixante-quatre orientations des six paires donne quatre relevés pour ces totaux nommés. Deux choisissent A face à B et deux choisissent B face à A. Une information extérieure « B choisie face à A » retire donc deux relevés, mais ne désigne pas encore un original unique. Nora peut demander un autre résultat si la commande exige la restitution entière. Elle n'associe pas une probabilité un demi aux deux sens : aucune loi de tirage des orientations n'a été fournie. Le partage deux contre deux est un compte de possibilités du dossier, pas une fréquence de rencontres observée ou une promesse d'équité.
Imposer un résultat avec le moins de changements
Camille conserve maintenant le premier relevé comme préparation de départ, puis demande que B soit choisie face à A en gardant exactement les quatre totaux. Elle autorise le changement des résultats et veut en modifier le moins possible. Nora ne peut pas inverser seulement A–B : A perdrait son seul point et B passerait à deux. Il faut que A récupère un point ailleurs et que B en perde un ailleurs. Les totaux ne sont pas de nouvelles données à ajuster après la modification ; leur conservation fait partie de la commande. La remise doit donc montrer les changements qui réparent ces deux écarts ensemble.
Deux inversions au total ne suffisent pas. La première, A–B, fait perdre un à A et gagner un à B. Une seule autre flèche pourrait rétablir les deux écarts seulement si elle reliait de nouveau ces mêmes deux fiches dans le sens contraire ; il n'existe pas une seconde paire A–B dans le modèle. Une flèche entre A et une troisième fiche peut rendre le point à A, mais elle modifie aussi cette troisième fiche et laisse encore le point supplémentaire de B. Une flèche entre B et une troisième fiche a le défaut symétrique. Nora garde ainsi une borne de trois changements sans compter seulement les deux fiches dont les totaux étaient immédiatement faux.
Elle réalise les trois changements par le cycle A–B–C : B face à A remplace A face à B, C face à B remplace B face à C, et A face à C remplace C face à A. Les résultats D face à A, D face à B et C face à D sont conservés. A retrouve un point contre C ; B possède un contre A ; C possède deux contre B et D ; D garde deux contre A et B. La commande est entièrement remplie, avec trois résultats modifiés et la borne de trois atteinte. Nora remet ce second relevé comme correction minimale du premier, et pas simplement comme une autre liste favorable déjà trouvée avant la demande.
Le quatrième relevé de la classe, qui choisit lui aussi B face à A, demanderait quatre changements depuis notre premier départ. Il donne C face à A et B, A face à D, D face à B et C, ainsi que B face à A. Ses totaux sont encore 1, 1, 2, 2. Mais les paires A–B, A–D, B–C et C–D ont changé, alors que A–C et B–D ont gardé leur sens. Camille ne le retient pas pour le minimum de changements, même s'il satisfait la nouvelle paire demandée. Le choix ne vient plus de la seule existence d'une réalisation ; il compare la distance au relevé de départ effectivement conservé.
Retirer une fiche exige de connaître ses résultats
Camille retire ensuite D du premier relevé, sans modifier les trois paires entre A, B et C. D était choisie face à A et B, donc ces deux fiches ne perdent aucun point en la voyant disparaître. C était choisie face à D et perd un point. Les totaux restants deviennent un, un, un, et le petit cycle est conservé. Nora refuse de soustraire un à chacun des anciens totaux : cette procédure donnerait zéro, zéro et un, de somme un, alors que les trois paires restantes doivent encore produire trois points. La disparition d'une adversaire ne retire un point qu'aux fiches qui avaient été choisies face à elle.
Les seuls totaux avant retrait ne permettent pas de savoir lesquels doivent être diminués. Nora reprend le quatrième relevé décrit dans la correction précédente. Il possédait lui aussi A un, B un, C deux, D deux. Cette fois, A était choisie face à D, tandis que D était choisie face à B et C. Retirer D fait donc perdre le point de A seulement. Les trois totaux deviennent zéro, un et deux : B choisie face à A, C face à A et B. Le même relevé agrégé avant retrait conduit ainsi à une autre liste après retrait, parce que la fiche supprimée n'avait pas reçu les mêmes résultats individuels.
Camille peut demander le résultat original contre D pour chaque fiche restante, ou conserver le relevé détaillé avant de le supprimer de la préparation active. Une nouvelle information « A choisie face à D » sépare précisément notre quatrième relevé du premier. Nora ne remplace pas ce renseignement par « A a un point » : cette valeur était déjà la même dans les deux origines. Si la commande ne conserve que les totaux, elle remet les deux possibilités de retrait plutôt qu'un changement unique inventé. La donnée utile ici nomme une paire, car l'opération de retrait agit sur ses résultats, pas sur l'ensemble des points sans attribution.
Les notices restent des références de catégorie ; aucune image ou méthode artistique ne fournit ces relevés. Camille conserve les groupes, les résultats imposés et les retraits effectivement renseignés, sans transformer un total en récit unique des rencontres.