Camille prépare huit étiquettes fictives sur une bande de papier. Nora veut en retenir un seul bloc, sans changer leur ordre. Les étiquettes portent des points inventés pour cette décision, et non des appréciations de convives : quatre, moins six, trois, cinq, moins deux, quatre, moins sept, six. Nora cherche la plus grande somme possible. La première commande exige un bloc non vide et des positions consécutives sur une bande ouverte. La dernière étiquette n'y touche pas la première.
COLOP présente des tampons.
REINER présente des tampons.
Rubber Stamp Champ présente des tampons.
Ces catégories seules ont été lues. Aucun modèle, dessin ou procédé de marquage n'est adapté ; les étiquettes, valeurs et règles de sélection sont créées ici.
Les positions sont numérotées de un à huit. Choisir de trois à six prend obligatoirement les valeurs trois, cinq, moins deux et quatre. Les points négatifs peuvent donc entrer dans une bonne sélection, si les retrancher oblige à rompre le bloc. Rien n'est imprimé, collé ou découpé pour de bon dans cet exercice. Camille devra remettre les deux bornes de la sélection, puis vérifier les valeurs entre elles. Un score sans bornes ne permettrait pas à Nora de retrouver les étiquettes retenues.
Les seules étiquettes positives ne forment pas un bloc
Camille propose d'abord les positions un, trois, quatre, six et huit. Leur somme vaut vingt-deux. Nora refuse cette liste pour la commande présente : elle saute deux, cinq et sept, et forme quatre blocs distincts. La contrainte ne disait pas « prendre tout ce qui rapporte des points ». Pour garder trois, quatre et six dans une seule sélection, Camille doit également prendre cinq et son moins deux. Elle retient trois à six, dont la somme vaut dix. Ce résultat plus petit répond à la forme exigée, tandis que vingt-deux répondait à une autre sélection.
Camille examine ensuite le bloc entier de un à huit. Sa somme vaut sept, inférieure à dix. Garder davantage de positions n'améliore donc pas nécessairement la commande. Elle retire un et deux de cette proposition, puis sept et huit, pour obtenir les quatre positions retenues. Chaque retrait porte sur une extrémité ; elle n'a pas vidé la position cinq au milieu. Nora accepte dix avec trois à six comme témoin, mais demande encore pourquoi aucun autre début ou aucune autre fin ne donnerait davantage.
Pour chaque position finale, Camille calcule la meilleure somme d'un bloc qui s'y termine exactement. À la première, cette somme vaut quatre. À la deuxième, elle choisit entre le bloc réduit à moins six et le meilleur bloc précédent prolongé par moins six ; ce dernier vaut moins deux et l'emporte. À la troisième, elle choisit entre trois seul et moins deux plus trois, soit un. Elle repart donc de trois. Les meilleures sommes terminées aux positions successives sont quatre, moins deux, trois, huit, six, dix, trois et neuf. Leur maximum est dix, atteint à la sixième position.
Cette comparaison n'abandonne aucun bloc qui pourrait devenir meilleur plus tard. Un bloc finissant à une position donnée contient soit cette position seule, soit un bloc terminé juste avant suivi de cette valeur. Dans le second cas, tous les blocs antérieurs reçoivent le même ajout ; celui dont la somme était la plus grande reste au moins aussi bon que les autres après l'ajout. Camille garde donc ce meilleur prolongement et l'option de recommencer. Pour décider de la bande entière, elle garde aussi le maximum déjà rencontré. Le trois terminé en sept n'efface pas le dix terminé en six.
Les bornes se transmettent avec ces sommes. Recommencer en trois remplace le début un par le début trois ; prolonger jusqu'à six conserve ensuite ce début. En sept et huit, le meilleur bloc terminé reste trois à sept puis trois à huit, avec trois et neuf points. Aucun de ces deux résultats ne remplace le maximum dix. Nora remet donc trois à six, pas le bloc qui finit à la dernière position parce que le calcul vient de s'y arrêter. Camille garde séparément « meilleur ici » et « meilleur quelque part dans la bande ».
Soustraire deux préfixes retrouve les bonnes bornes
Camille contrôle dix par une seconde représentation. Les sommes depuis le début, avant toute étiquette puis après chacune, sont zéro, quatre, moins deux, un, six, quatre, huit, un et sept. Le bloc trois à six vaut la somme après six moins celle après deux : huit moins moins deux donne dix. La soustraction retire exactement les positions un et deux du total arrêté en six. Elle n'autorise pas à enlever séparément n'importe quelle valeur négative située entre les deux bornes.
Pour une fin donnée, Nora veut soustraire le plus petit total antérieur possible. Avant la fin six, le minimum vaut moins deux, obtenu après deux. Soustraire ce minimum donne le meilleur bloc terminé en six. Camille met à jour le plus petit préfixe en avançant, mais seulement après avoir calculé le bloc courant. Si elle autorisait le préfixe arrêté à la même fin, leur différence serait zéro et sélectionnerait un bloc vide. Le mot « antérieur » dans son calcul porte donc une condition concrète : le début choisi doit précéder au moins une position retenue.
Nora teste précisément ce défaut sur une autre bande, moins quatre, moins deux, moins cinq. Chaque bloc non vide a une somme négative, et le meilleur est la deuxième étiquette seule, moins deux. Une procédure initialisée à zéro annoncerait pourtant zéro sans étiquette. Camille conserve moins deux et la borne deux à deux pour la commande non vide. Si Nora autorisait expressément de ne rien prendre, zéro deviendrait admissible. Elle ne glisse pas cette permission dans le premier résultat pour rendre une somme négative plus agréable à présenter.
Trois positions au plus ferment d'anciens départs
Nora impose une nouvelle limite : prendre au plus trois étiquettes consécutives, toujours sur la bande ouverte. Trois à six en prend quatre et devient inadmissible, malgré son score dix. Camille ne peut pas retirer seulement cinq, car trois, quatre et six cesseraient alors d'être consécutives. Elle examine les blocs de longueur un, deux ou trois. Trois à quatre apporte huit, et aucun bloc permis n'apporte davantage. Elle remet donc ces deux positions sous la limite, avec une étiquette de moins que le maximum autorisé.
Le contrôle par préfixes doit lui aussi changer. Pour un bloc terminé en six avec au plus trois positions, le préfixe soustrait peut seulement s'arrêter après trois, quatre ou cinq. Leurs totaux sont un, six et quatre. Le minimum admissible vaut un, donnant huit moins un, soit sept, sur quatre à six. Le moins deux après deux donnerait dix, mais ce début remonterait trop loin. Camille cesse donc de conserver un seul minimum valable depuis l'origine : elle garde ceux de la fenêtre encore autorisée et abandonne un ancien préfixe lorsqu'il en sort.
La preuve du choix reste une soustraction, mais sur un ensemble de départs effectivement limité. À chaque fin, une longueur entre un et trois correspond exactement à l'un des trois préfixes précédents, ou à ceux qui existent près du début. Camille compare seulement leurs valeurs. Elle retrouve huit pour trois à quatre, puis sept pour quatre à six et six pour huit seule. Garder le minimum historique moins deux pour toutes les fins aurait entretenu une proposition de quatre positions que la nouvelle règle venait de fermer. La correction du calcul accompagne donc la correction de la liste remise.
Nora demande ensuite exactement trois étiquettes. Le bloc trois à quatre n'a plus la bonne longueur ; l'ajout de cinq donnerait six points, et l'ajout de deux donnerait deux. Camille ne choisit pas l'une de ces deux extensions au motif qu'elle serait attachée au meilleur bloc précédent. Les six blocs de longueur trois donnent un, deux, six, sept, moins cinq et trois. Elle retient quatre à six avec sept. « Au plus trois » avait livré huit sur deux positions ; « exactement trois » livre sept sur trois. Les deux commandes n'ont pas les mêmes bornes optimales.
Fermer la bande ouvre une sélection qui traversait le bord
Dans une branche séparée, Nora ferme le dessin en cercle. Huit touche désormais un, et un bloc peut franchir cette jonction. Aucune position ne peut être prise deux fois ; la longueur maximale reste huit. Le bloc huit puis un apporte déjà dix, en deux positions. Mais ce témoin ne clôt pas la recherche : Camille peut également continuer vers deux, trois, quatre, cinq et six. Cette sélection prend sept positions et laisse seulement sept de côté.
La somme du cercle entier vaut sept. En retirant la position sept et son moins sept, Camille obtient quatorze : six, quatre, moins six, trois, cinq, moins deux, quatre, dans l'ordre huit, un, deux, trois, quatre, cinq, six. Nora retient ce bloc circulaire plutôt que trois à six et ses dix points. Le moins six reste à l'intérieur du résultat, car l'omettre en gardant ses deux côtés séparerait la sélection. La jonction huit–un a changé les blocs disponibles, sans améliorer aucune valeur individuelle.
Camille explique pourquoi chercher le morceau omis permet de vérifier ce résultat. Un bloc circulaire qui franchit la jonction possède pour complément un bloc consécutif de la bande ouverte, à l'intérieur des deux extrémités retenues. Sa somme est le total moins la somme omise. Maximiser cette sélection revient donc à minimiser le morceau laissé dehors. Sur la bande donnée, la plus petite somme d'un bloc vaut moins sept, pour la position sept seule. Total sept moins moins sept donne quatorze. Camille confronte ce candidat aux blocs ouverts ordinaires, dont le maximum dix avait déjà été contrôlé ; tous les blocs circulaires sont couverts par l'une ou l'autre famille.
Ce complément doit laisser une sélection non vide. Sur la bande entièrement négative moins quatre, moins deux, moins cinq, le morceau de somme minimale serait toute la bande, soit moins onze. Soustraire moins onze du total moins onze donnerait zéro, mais ne conserverait aucune étiquette. Camille interdit cette candidature pour la commande non vide et garde le meilleur bloc ordinaire, moins deux. Elle peut chercher seulement des morceaux omis propres ou conserver la comparaison avec un contrôle explicite de cette exception. Elle ne livre jamais zéro comme score d'une sélection qui aurait une longueur cachée de zéro.
Avec au plus trois positions sur le cercle principal, le bloc à quatorze n'est plus admis. Huit puis un, de longueur deux, apporte dix. Les autres blocs d'au plus trois positions ne le dépassent pas ; les deux triplets qui franchissent la jonction valent trois pour sept, huit, un et quatre pour huit, un, deux. Nora choisit donc huit puis un. Elle inscrit ces deux identifiants dans cet ordre, plutôt que « un à huit », qui désignerait toute la bande ouverte et sept points. Le maximum autorisé n'oblige pas à remplir la troisième place, comme dans la commande linéaire limitée.
Deux blocs ne sont pas deux sommes prises sans leurs positions
Nora revient à la bande ouverte et permet maintenant jusqu'à deux blocs non vides et disjoints, avec au moins une position omise entre eux si deux blocs sont retenus. Les points s'additionnent, mais une étiquette ne peut être comptée deux fois. Camille choisit trois à six, dix points, puis huit seule, six points. Sept reste omise entre eux. Les seize points dépassent le meilleur bloc unique. Nora reçoit les deux paires de bornes, trois–six et huit–huit, pour retrouver aussi le trou entre les sélections.
Camille vérifie cette commande en plaçant une séparation entre les deux blocs. Pour chaque séparation possible avec une position laissée dehors, elle cherche le meilleur bloc dans la partie gauche et le meilleur dans la partie droite, puis additionne leurs scores. La séparation autour de sept permet justement trois à six à gauche et huit à droite, total seize. Toute paire admissible possède au moins un tel emplacement entre ses blocs ; elle sera donc examinée dans l'une des séparations. Comparer ces totaux donne un maximum de seize, sans devoir choisir d'abord le bloc individuel favori puis espérer qu'une place compatible demeure pour le second.
Camille avait proposé une autre manière de faire : additionner le meilleur bloc terminé en six, trois à six, et le meilleur bloc terminé en huit, trois à huit. Dix plus neuf donnerait dix-neuf. Nora refuse, car les positions trois, quatre, cinq et six appartiennent aux deux listes. Ce dix-neuf a compté deux fois leurs points. Les deux fins distinctes ne garantissent pas deux blocs disjoints ; il faut contrôler leurs débuts aussi. Le calcul par séparation avait retiré cette ambiguïté avant de maximiser, et son seize porte réellement deux listes sans position partagée.
Quatre renseignements permettent de réunir deux morceaux du calcul
Pour préparer une mise à jour, Camille partage la bande après quatre, sans changer les positions. Elle veut résumer chaque moitié sans conserver la liste de tous ses blocs. Pour la moitié un à quatre, elle note le total six, la meilleure somme partant du début six, la meilleure somme finissant au bord droit huit et le meilleur bloc intérieur huit. Pour cinq à huit, les quatre nombres sont un, deux, six et six. Les blocs utilisés dans les quatre champs sont non vides ; un même champ n'est pas remplacé par zéro lorsqu'il est négatif.
Nora demande le maximum de la réunion. Un bloc entier reste dans la moitié gauche, reste dans la droite, ou traverse leur frontière. Dans ce dernier cas, il prend un bloc finissant au bord droit de la gauche, suivi d'un bloc partant du bord gauche de la droite. Le meilleur croisement vaut donc huit plus deux, soit dix. Les deux autres familles donnent huit et six. Camille retrouve dix, avec trois et quatre à gauche, puis cinq et six à droite. Les champs de bord ont inclus moins deux en cinq ; la contiguïté à travers la séparation en dépend.
Conserver seulement « meilleur bloc » pour chaque moitié donnerait une réunion erronée. Huit à gauche vient de trois et quatre, tandis que six à droite vient de huit seule. Les additionner ferait quatorze en sautant cinq, six et sept. Ce n'est pas le meilleur bloc de la réunion ouverte. Camille garde donc les deux champs de bord en plus du maximum intérieur et du total. Ils disent comment une sélection peut entrer ou sortir de la moitié sans franchir un trou. Nora reçoit un résumé plus long que deux nombres, mais qui contient précisément la condition perdue par la proposition courte.
La même distinction construit les autres champs de la réunion. Son total additionne les deux totaux. Un bloc partant du bord gauche reste entièrement à gauche, ou prend toute la gauche puis un début de la droite ; Camille compare donc le préfixe gauche à total gauche plus préfixe droit. Pour le bord droit, elle compare le suffixe droit à total droit plus suffixe gauche. Ces règles ne confondent pas un meilleur morceau intérieur avec un morceau qui touche le bord demandé. Elles permettent de réunir des résumés déjà calculés sans récupérer silencieusement des positions omises dans un champ.
Nora change enfin la valeur de sept, qui passe de moins sept à moins un sur une nouvelle feuille. La moitié gauche est intacte et conserve son résumé. À droite, les valeurs moins deux, quatre, moins un, six donnent un total sept, un préfixe maximal sept, un suffixe maximal neuf et un maximum neuf. La réunion compare huit à gauche, neuf à droite et huit plus sept au croisement. Le résultat quinze retient trois à huit : trois, cinq, moins deux, quatre, moins un, six. Camille remet cette borne nouvelle, sans recalculer la moitié inchangée ni conserver le dix de l'ancienne feuille comme maximum actuel.
Les fiches finales distinguent les commandes : trois à six pour un bloc ouvert sans limite, trois à quatre avec au plus trois positions, quatre à six avec exactement trois, et huit puis un pour un petit bloc circulaire. Les deux blocs ouverts trois à six et huit seule appartiennent à une autre remise. Nora conserve les valeurs et les permissions avec chaque liste. Un score élevé ne décide ni de la contiguïté, ni de la longueur, ni de la possibilité de franchir la jonction ; ces conditions restent les données qui rendent les bornes remises vérifiables.