Une feuille de préparation peut proposer de corriger une valeur dès qu’elle s’écarte du repère choisi. Léa veut examiner cette idée avant de la garder dans son dessin. Prendre toute la correction indiquée semble d’abord plus décisif qu’en prendre une moitié. Mais la valeur utilisée peut être celle du moment présent ou celle de l’étape précédente. Nous allons remplir ces deux règles et choisir des suites compatibles avec le renseignement qu’elles emploient réellement.
Toutes les valeurs et relations sont créées. Les nombres ne sont ni des degrés, ni des quantités alimentaires, ni des relevés d’un appareil. Le repère reste fixé pendant chaque suite. Nous appelons écart la valeur présente moins ce repère. Une correction se soustrait à la valeur et change donc l’écart suivant de la même quantité. Les indices comptent des étapes de calcul, sans durée matérielle. Nous ne conseillons aucun réglage ou fonctionnement de thermostat. Les récurrences de ce modèle sont classiques et leur calcul ne revendique aucune invention.
tado° présente des thermostats.
ecobee présente des thermostats.
SALUS présente des thermostats.
Ces pages ont été lues textuellement pour cette seule catégorie. Leurs commandes, économies, calendriers et caractéristiques ne fournissent aucune règle de notre dessin. Aucun appareil ni image n’a été inspecté. Nos corrections et leurs effets sur la ligne suivante sont entièrement stipulés ; aucun effet thermique supplémentaire n’est supposé entre les lignes. La comparaison porte seulement sur les suites ainsi définies.
Utiliser l’écart présent laisse une relation à une seule valeur
Dans la première règle, la correction est une proportion a de l’écart présent. Le nouvel écart vaut donc l’ancien moins a fois cet ancien : e suivant égale un moins a, multiplié par e présent. Nous choisissons d’abord a égal à une moitié et un écart initial égal à un. Les lignes suivantes portent une moitié, un quart, un huitième, puis un seizième. Léa conserve cette règle pour une première demande : s’approcher du repère depuis cet écart positif sans le dépasser.
Le maintien du côté positif ne dépend pas seulement des quatre lignes calculées. Une moitié d’un nombre positif reste positive, et sa valeur est plus petite que celle dont elle vient. À chaque étape, l’écart est à nouveau divisé par deux. Après n étapes, il vaut un divisé par deux puissance n ; ces nombres deviennent aussi petits que le souhaite une marge positive donnée. Léa peut donc annoncer une approche du repère dans ce modèle, tout en refusant de placer un zéro exact après le quatrième relevé. Un seizième reste un écart présent, et la règle ne l’arrondit pas.
Avec a égal à un, la correction prend tout l’écart présent. Le nouvel écart est zéro quelle que soit la valeur initiale. À la ligne suivante, la correction vaut encore zéro, puis toutes les autres restent à zéro. Léa retient cette deuxième règle pour une demande différente : atteindre le repère exactement au premier pas dans le modèle. Elle ne l’attribue pas à la première feuille qui divisait l’écart par deux. Les deux feuilles approchent le même repère, mais l’une l’atteint immédiatement selon sa relation exacte et l’autre conserve des écarts non nuls à chaque étape finie.
Prendre plus que l’écart peut encore permettre l’approche, avec une autre forme. Pour a égal à trois demis, un moins a vaut moins une moitié. Depuis un, les écarts sont donc moins une moitié, un quart, moins un huitième, un seizième. Leur signe alterne et leur valeur absolue est divisée par deux. Léa accepte cette feuille seulement dans une branche qui autorise de passer des deux côtés du repère. Elle retire la phrase « ne dépasse pas le repère » qui convenait à la première règle. Une amplitude qui diminue n’implique pas ici un côté constamment conservé.
Cette différence se lit dans le facteur un moins a. Quand a est strictement entre zéro et un, ce facteur est positif et inférieur à un : le signe reste conservé. Quand a est strictement entre un et deux, il est négatif mais sa valeur absolue reste inférieure à un : l’approche alterne. À a égal à deux, le facteur moins un garde une amplitude constante. Au-delà de deux, sa valeur absolue dépasse un et multiplie l’amplitude vers le haut. Léa garde ces distinctions dans la règle sans retard ; elle ne transforme pas « correction plus grande » en une même promesse pour tous les facteurs.
Recevoir l’ancienne valeur change le calcul, pas seulement sa présentation
Une autre feuille impose un retard d’une étape. La correction de la ligne suivante est a fois l’écart de l’étape précédente, et se soustrait toujours à l’écart présent. Nous devons donc conserver deux nombres pour avancer : le précédent et le présent. La règle devient e suivant égale e présent moins a fois e précédent. Les deux premières valeurs sont données, toutes deux égales à un. Rien dans cette feuille ne remplace l’ancienne valeur par la plus récente lorsqu’elle semble plus commode pour corriger.
Avec a égal à un, le premier nouvel écart est zéro : un présent moins un précédent. Le suivant devient moins un, puisque le zéro présent rencontre encore l’ancien un. Puis moins un moins zéro redonne moins un ; ensuite moins un moins moins un donne zéro. La suite revient à un, puis à un. Léa obtient donc, après ses deux valeurs initiales, zéro, moins un, moins un, zéro, un, un. Elle refuse de fermer la feuille après le premier zéro comme si le calcul sans retard avait été retenu. Cette valeur n’avait pas retiré la correction encore fondée sur l’ancienne ligne.
Le retour aux deux valeurs un et un fait recommencer exactement la même suite. La règle utilise les deux mêmes nombres avec le même a ; elle produit donc à nouveau zéro, moins un et les autres étapes déjà calculées. Nous avons un cycle, sans approche durable du repère. La présence régulière de zéros ne change pas cette conclusion : entre eux, des écarts de valeur absolue un reviennent toujours. Léa retire la promesse « tout corriger atteint le repère au premier pas et y reste » de cette feuille avec retard, même si son premier nouveau relevé ressemblait à celui de la règle immédiate.
Le cycle ne dépend pas uniquement du choix initial un et un. Appelons x l’écart présent et y le précédent. Une étape à a égal à un transforme le couple présent-précédent en x moins y, puis x. La suivante donne moins y, puis x moins y ; la troisième moins x, puis moins y. Trois nouvelles étapes retrouvent x puis y. Le couple initial revient donc après six pas. Si les deux valeurs ne sont pas nulles, ce retour conserve un couple non nul qui réapparaîtra. Léa ne cherche pas une autre première valeur isolée pour faire disparaître la difficulté de cette règle : le calcul garde la même propriété sur tout couple de départ.
Réduire la correction avec retard fait diminuer un score du couple
Léa choisit maintenant a égal à une moitié sur la feuille avec retard. Les deux écarts initiaux restent un et un. Elle obtient une moitié, zéro, moins un quart, moins un quart, moins un huitième, zéro, un seizième, un seizième. Cette suite ressemble à une approche, mais elle ne conserve ni un côté du repère ni une amplitude strictement décroissante à chaque ligne. Après zéro, l’écart redevient moins un quart ; un peu plus tard, un autre zéro est suivi d’un seizième. Léa veut donc un contrôle de toute la suite, au-delà de cette liste courte.
Elle construit un score à partir des deux écarts : x au carré, moins x fois y, plus une moitié de y au carré. Nous le notons Q, avec x présent et y précédent. Ce score n’est ni une énergie physique ni une consommation. Il sert à contrôler notre relation exacte. On peut également l’écrire comme une moitié du carré de x plus une moitié du carré de la différence entre x et y. Il est donc positif ou nul, et ne devient nul que lorsque x et y sont tous deux nuls. Une seule valeur présente égale à zéro ne suffit pas à l’annuler.
Le couple suivant est x moins une moitié de y, puis x. En le remplaçant dans le score, les termes se regroupent en une moitié de x au carré, moins une moitié de x fois y, plus un quart de y au carré. C’est exactement une moitié du score précédent. Léa peut donc compléter la règle par Q suivant égale Q présent divisé par deux. Cette égalité provient du couple effectivement mis à jour ; elle ne demande pas que chaque nouvel écart soit une moitié du présent, comme dans la première feuille sans retard.
Pour les deux valeurs initiales un et un, Q vaut une moitié. Ses valeurs successives sont un quart, un huitième, un seizième et ainsi de suite. À chaque ligne, une moitié de l’écart présent au carré est au plus égale à Q, d’après la seconde écriture du score. L’écart présent au carré est donc au plus égal à deux Q. Comme Q devient aussi petit que voulu en étant divisé par deux, l’écart présent devient lui aussi aussi petit que voulu. Léa conserve cette preuve pour toutes les étapes, plutôt qu’une observation où les huit premières amplitudes paraissaient suffisamment réduites.
Au moment où l’écart présent vaut zéro et le précédent une moitié, le score vaut un huitième. La ligne suivante présente moins un quart avec un précédent zéro ; son score vaut un seizième. L’amplitude présente a augmenté de zéro à un quart, tandis que le score a diminué de moitié. Ces deux calculs peuvent donc être vrais ensemble. Léa retire l’intitulé « chaque relevé se rapproche davantage » et garde « le couple suit le score décroissant vérifié ». Le second répond à l’approche démontrée, sans imposer aux valeurs isolées une monotonie qu’elles n’ont pas.
Ce contrôle fournit également une marge permanente. Après dix étapes depuis le couple initial un-un, Q vaut une moitié divisée par mille vingt-quatre. L’écart présent au carré est au plus un divisé par mille vingt-quatre, donc sa valeur absolue est au plus un trente-deuxième. Les scores suivants restent plus petits, puisque la même égalité de division par deux continue. Léa peut donc promettre cette marge pour toute la suite à partir de la dixième étape du modèle. Elle ne l’annonce pas comme un seuil de précision mesuré ni comme un arrêt automatique : la règle continue ses calculs et peut conserver des écarts non nuls.
Le même facteur qui approchait sans retard peut éloigner avec retard
La feuille immédiate avait accepté trois demis lorsque les passages de part et d’autre étaient permis. Léa essaie ce même a dans la feuille avec retard, en conservant les deux écarts initiaux un et un. Les nouveaux écarts deviennent moins une moitié, moins deux, moins cinq quarts, puis sept quarts. Cette liste ne montre pas la division des amplitudes par deux de la première feuille. Mais Léa ne conclut pas non plus à un éloignement illimité depuis quatre valeurs seulement. Elle cherche un contrôle adapté à la nouvelle relation, comme celui de la branche précédente.
Elle reprend la construction avec un score Q_a égal à x au carré moins x fois y plus a fois y au carré. Avec le couple suivant x moins a fois y, puis x, son score vaut a fois celui du couple précédent. Le développement donne a fois x au carré, moins a fois x fois y, plus a au carré fois y au carré. Léa peut vérifier l’identité sans choisir les valeurs de départ. À a égal à une moitié, elle retrouve la division par deux déjà retenue ; à a égal à un, un score conservé ; à trois demis, une multiplication par trois demis.
Pour trois demis, le score peut s’écrire comme le carré de la différence entre x et une moitié de y, plus cinq quarts du carré de y. Il est donc strictement positif sur tout couple non nul. Depuis un et un, il commence à trois demis, puis est multiplié par trois demis à chaque étape. Il devient aussi grand que voulu. Si les deux écarts restaient tous deux bornés en valeur absolue par un même nombre, les trois termes de ce score resteraient également bornés. Cette conséquence contredit sa croissance. Léa refuse donc cette règle pour une demande de maintenir les écarts durablement près du repère dans le modèle retardé.
La croissance du score ne permet pourtant pas d’écrire que chaque écart isolé est plus grand que le précédent. Dans la liste créée, la valeur absolue passe de deux à cinq quarts et diminue momentanément. Le résultat établi porte sur le couple : ses écarts ne peuvent pas rester tous deux dans une même borne pour toute la suite. Léa conserve cette portée avec le refus. Elle ne supprime pas la baisse momentanée pour obtenir une liste visuellement croissante, et ne transforme pas cette baisse en preuve que le refus serait faux. Un score de couple et l’amplitude d’une seule ligne ne donnent pas la même lecture.
Elle choisit donc une moitié pour la branche avec retard, et garde trois demis seulement dans la comparaison sans retard qui l’avait réellement justifié. Ce choix ne demande aucun changement des deux écarts initiaux. Ce sont la valeur employée pour calculer la correction et l’identité du score correspondant qui départagent les feuilles. Léa ne leur joint pas un avis sur un thermostat : nous n’avons donné aucune relation de ce type pour un équipement. Les trois facteurs examinés servent exclusivement à comparer des relations numériques entièrement déclarées.
Plafonner la correction peut réduire le cycle sans le supprimer
Une proposition supplémentaire garde a égal à un, mais limite la valeur absolue de chaque correction à une moitié. Son signe reste celui de l’écart employé. Si celui-ci vaut un, la correction vaut une moitié ; s’il vaut moins un quart, la correction vaut moins un quart. Les deux valeurs initiales restent un et un. Nous comparons la même fonction sur la feuille immédiate et sur celle avec retard, sans attribuer cette limite à la puissance ou au déplacement d’un équipement. Sur la feuille immédiate, un devient une moitié, puis zéro. Le plafond n’empêche donc pas l’arrivée au repère dans cette branche remplie.
Sur la feuille retardée, Léa obtient une moitié, zéro, moins une moitié, moins une moitié, zéro, une moitié, une moitié. À ce dernier moment, le couple présent-précédent vaut une moitié et une moitié. La règle recommence alors zéro, moins une moitié et les autres valeurs du même cycle. Tous les écarts de ce cycle ont une valeur absolue au plus égale à une moitié ; le plafond ne réduit plus aucune de leurs corrections. La feuille suit désormais la règle retardée à a égal à un sur un couple non nul, dont le retour après six pas a été démontré. Léa refuse donc la promesse d’approche attachée à ce plafond. Il a diminué l’amplitude rencontrée dans notre cas, sans empêcher le retour permanent d’écarts d’une moitié. Une limite sur la correction et une diminution du facteur ne produisent pas le même effet sur la suite.
Léa reprend enfin le facteur une moitié déjà choisi et lui ajoute le même plafond, pour vérifier si la nouvelle condition altère son résultat. Depuis le couple initial un-un, le score commence à une moitié et décroît. L’écart présent au carré reste donc au plus un à toute étape, d’après la borne par deux Q. Les écarts précédents, issus de ces valeurs ou du premier un donné, ont également une valeur absolue au plus égale à un. Leur moitié ne dépasse jamais le plafond d’une moitié. Celui-ci ne retranche donc aucune correction dans cette suite : la relation et la preuve d’approche restent les mêmes. Léa conserve cette feuille si le plafond doit être mentionné, avec son caractère inactif sur le cas vérifié. Elle ne prolonge pas cette conclusion à n’importe quel couple initial, qui pourrait produire une correction dépassant le plafond et demander un autre contrôle.
Deux zéros ferment le couple que le premier zéro laissait ouvert
La règle avec retard et a égal à une moitié peut montrer zéro avec un précédent non nul. Nous l’avons rencontré après une moitié. Dans une autre ouverture, nous donnons directement un écart présent zéro et un précédent égal à un. Le suivant devient moins une moitié. Léa refuse de présenter ce couple comme le repos définitif de la feuille. Son état présent est sur le repère, mais l’opération suivante possède encore une correction non nulle dans le renseignement précédent. Ce cas reste une comparaison du modèle, sans mesure d’une installation en attente.
Une demande souhaite désormais reconnaître un couple qui restera nul sous la même règle, sans demander toute son histoire. Léa retient deux écarts consécutifs nuls. Le calcul suivant soustrait une moitié de zéro à zéro, puis conserve encore deux zéros. La suite entière restera ainsi nulle. Inversement, si l’écart présent est nul et le suivant également, notre relation impose que le précédent l’ait été : une moitié de ce précédent doit donner zéro. Cette condition porte donc sur deux valeurs liées par la règle, plutôt que sur un zéro choisi seul dans une liste cyclique ou dans la suite approchante.
Léa ne transforme pas cette condition en obligation d’arrêter la feuille approchante après un nombre donné de pas. Celle-ci peut se rapprocher sans présenter deux zéros consécutifs. La marge permanente d’un trente-deuxième et le couple exactement nul restent deux demandes distinctes. Elle remet la première pour le couple initial un-un avec a égal à une moitié, et accepte la seconde uniquement dans une branche initialisée avec deux zéros. Aucun nombre arrondi n’est substitué à une valeur exacte pour rendre cette initialisation vraie après coup.
La préparation choisie garde finalement la règle avec retard, le facteur une moitié et les deux écarts de départ. Elle porte aussi le score du couple et sa portée : approche démontrée et marge durable, sans monotonie promise pour chaque ligne ni zéro exact forcé. Les comparaisons refusées restent identifiables avec leur valeur de correction et leur renseignement utilisé. Ce document peut ainsi montrer quelle suite ses règles produisent, sans passer d’un dessin arithmétique à une commande matérielle ou attribuer aux fabricants une propriété qu’aucune de leurs pages consultées n’a fournie.