Après le dîner, une devinette peut donner un indice à une personne et un autre à son voisin. Quelqu’un trouve la réponse, mais son annonce ne la révèle pas forcément aux autres. Une phrase disant « je ne sais pas encore » peut, au contraire, apporter assez d’information pour faire avancer la recherche. Nous allons choisir des annonces et des destinataires dans un petit jeu construit, avec une attention particulière au moment et à la portée de chaque message.
Les cartes, les participants et les échanges sont entièrement créés. Nous ne décrivons aucune partie observée, aucun jeu commercial essayé ni psychologie mesurée. Dans notre exercice, « pouvoir déterminer la carte » signifie seulement que les renseignements reçus, joints au catalogue donné, ne laissent qu’une possibilité. Tous connaissent cette convention et les rôles. Les messages sont vrais, reçus sans erreur par leurs destinataires et utilisables dans le raisonnement. Ces conditions appartiennent au modèle ; elles ne constituent pas une promesse sur les conversations réelles.
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Donner deux indices sans donner deux réponses
Le premier catalogue comporte exactement quatre cartes : cercle rouge, carré rouge, cercle bleu et triangle vert. Il n’existe aucun autre exemplaire ni aucune autre combinaison dans cette branche. L’hôte, Nora, choisit le cercle rouge et le garde caché. Elle donne seulement la couleur à Alice et seulement le symbole à Bob. Charlie reçoit le catalogue, comme les autres, mais aucun indice privé. Le lecteur de notre article connaît donc le choix de Nora ; les joueurs de la scène ne reçoivent pas cette information complète.
Alice a appris « rouge ». Le cercle rouge et le carré rouge restent compatibles avec son indice. Bob a appris « cercle » ; pour lui, le cercle rouge et le cercle bleu restent compatibles. Aucun ne peut encore nommer la carte entière selon notre convention. Leur hésitation ne porte pourtant pas sur le même couple de cartes. Remplacer leurs deux listes par « deux possibilités pour chacun » ferait perdre les noms nécessaires pour comprendre ce qui changera lorsqu’ils échangeront un renseignement.
Nora propose d’abord une mise en commun explicite. Alice annonce sa couleur à tous, puis Bob annonce son symbole à tous. Après « rouge », Charlie conserve les deux cartes rouges ; après « cercle », il garde seulement le cercle rouge. Alice et Bob rejoignent le même résultat. Nora retient cette séquence pour une première fin simple : Charlie peut nommer la carte parce qu’il a reçu les deux annonces. Elle ne le décrit pas comme ayant trouvé grâce à son absence d’indice initial ; c’est la mise en commun qui a changé ses possibilités.
L’ordre inverse des deux annonces mène également au cercle rouge, mais le premier état public est différent. Si Bob parle d’abord, Charlie garde le cercle rouge et le cercle bleu jusqu’à l’annonce d’Alice. Nora conserve cet autre parcours comme une comparaison séparée. Elle ne reprend pas les deux rouges après une première annonce qui portait sur le cercle. Les mêmes renseignements peuvent fermer la même réponse tout en faisant traverser deux ensembles provisoires différents. Pour raconter le déroulement choisi, il faut garder celui que les paroles ont effectivement produit.
Une ignorance annoncée peut donner une information
Repartons du début, avant toute révélation d’indice. Nora choisit une autre question : Alice doit dire publiquement si son seul indice initial lui permettait de nommer la carte. Alice répond qu’il ne le lui permettait pas. Elle n’annonce pas directement « rouge ». Nous conservons pourtant le catalogue complet et les rôles : c’est la couleur qu’elle connaît, et sa réponse porte bien sur ce premier état. Charlie doit regarder quelles couleurs auraient laissé plusieurs cartes à Alice.
Avec bleu, Alice n’aurait rencontré que le cercle bleu. Avec vert, elle n’aurait rencontré que le triangle vert. Ces couleurs auraient donc permis une réponse unique. Seul rouge possède deux cartes dans ce catalogue. L’annonce véridique de l’ignorance initiale retire le cercle bleu et le triangle vert des possibilités publiques. Charlie garde les deux rouges, exactement comme après une révélation publique de rouge, même si les mots prononcés ont décrit une incapacité à déterminer la carte entière.
Bob possède toujours son cercle privé. Il le rapproche maintenant des deux possibilités rouges et obtient le cercle rouge. Nora retire sa première proposition de commentaire, « Alice et Bob restent également bloqués ». Alice garde encore cercle rouge et carré rouge, tandis que Bob peut désormais déterminer la carte. Aucun nouvel indice privé ne lui a été donné. La réponse publique d’Alice a rendu son ancien indice suffisant. Nora choisit donc de demander la réponse à Bob dans cette branche, et Alice conserve sa propre question ouverte.
Cette conclusion ne dépend pas du fait que Bob aurait forcément eu un cercle. Si la carte cachée avait été le carré rouge dans un autre état de ce catalogue, Bob aurait reçu carré et aurait pu la nommer dès le début. Après l’annonce d’Alice, il pourrait toujours la nommer. Pour Charlie, qui ne connaît pas le symbole privé, les deux rouges restent possibles. Nora n’utilise donc pas l’assurance nouvelle de Bob pour révéler au public lequel de ces deux symboles lui a été donné.
Deux annonces initiales ne sont pas deux ignorances encore actuelles
Nous créons maintenant deux réponses recueillies séparément avant que les joueurs n’entendent aucune annonce. Alice dit que sa couleur seule ne lui permet pas de trouver ; Bob dit que son symbole seul ne lui permet pas de trouver. Nora conserve expressément ce moment initial pour les deux réponses et les rend ensuite publiques ensemble. Nous ne faisons pas de la seconde une réaction prononcée après la première. Les rôles restent couleur pour Alice et symbole pour Bob, avec le catalogue à quatre cartes.
L’ignorance initiale d’Alice désigne toujours les deux rouges. Celle de Bob désigne les deux cercles : carré n’apparaît que sur le carré rouge et triangle que sur le triangle vert, donc ces symboles lui auraient donné une réponse unique. Le seul état compatible avec les deux réponses initiales est alors le cercle rouge. Charlie peut cette fois le nommer sans entendre ni « rouge » ni « cercle » comme indice direct. Nora retient une fin où il explique les deux exclusions ; elle retire « personne ne peut trouver puisque les deux joueurs ne savaient pas ».
Le commentaire choisi doit néanmoins conserver le moment des deux ignorances. Après leur publication, Alice et Bob peuvent également nommer le cercle rouge, puisque le résultat unique est devenu public. Nora écrit donc qu’ils ne pouvaient pas le déterminer avec leur seul indice au départ, puis qu’ils le peuvent après les deux réponses rendues publiques. Elle ne continue pas à leur attribuer une ignorance actuelle pour faire durer la devinette. Leur indice privé n’a pas changé ; les renseignements qui l’accompagnent ont changé.
Une autre préparation avait donné cette suite différente : Alice annonce son ignorance initiale, Bob l’entend, puis Bob affirme « à présent, je ne peux toujours pas déterminer la carte ». Nora écarte cette suite dans notre modèle de messages vrais. Après la première annonce, les possibilités publiques sont les deux rouges. Dans chacune, le symbole donné à Bob suffit à distinguer la carte. Sa seconde affirmation, si elle décrit bien ce nouvel état, n’est compatible avec aucune des deux possibilités. Le problème ne se résout pas en choisissant une carte bleue que l’annonce d’Alice a déjà exclue.
Pour remplir une réparation, nous créons un nouveau relevé qui précise que la réponse de Bob avait elle aussi été recueillie avant toute annonce, puis seulement lue après celle d’Alice. Nora remplace alors son intitulé « réponse actuelle de Bob » par « réponse initiale de Bob, rendue publique ensuite ». Cette donnée nouvelle permet la fin sur cercle rouge décrite plus haut. Elle ne prouve pas que la suite écartée était correcte sans cette précision. Le dossier conserve deux objets différents : une affirmation actuelle incompatible et deux affirmations initiales compatibles, dont la lecture successive ne change pas le moment qu’elles décrivent.
Entendre que quelqu’un a trouvé ne donne pas forcément sa réponse
Revenons à une autre branche du début : Alice annonce directement rouge en public. Bob connaît cercle en privé et peut alors nommer le cercle rouge. Il annonce seulement « je peux nommer la carte ». Charlie sait qu’il reste deux rouges dans les informations publiques. Nora avait prévu de lui demander immédiatement le symbole, en croyant que l’annonce de Bob avait révélé cercle. Elle retire cette demande de réponse déterminée : la phrase ne nomme aucun symbole et ne dit pas si Bob pouvait déjà répondre au départ.
Le carré rouge permettrait lui aussi l’annonce de Bob. Dans cet état, son symbole privé serait carré ; avec les deux rouges publics, il pourrait nommer le carré rouge. Les deux états rendent donc vraie sa nouvelle phrase. Charlie les garde tous les deux. Il peut conclure que Bob possède une réponse unique dans l’exercice sans posséder lui-même cette réponse. Nora conserve l’annonce de Bob, mais la présente comme une information sur sa possibilité de répondre, pas comme la révélation implicite du contenu de son indice.
Nora choisit ensuite une action effectivement remplie : Bob donne cercle en privé à Alice. Tous savent qu’il lui transmet son symbole exact et que la réception est parfaite dans cette scène, mais Charlie n’entend pas le contenu. Alice reçoit donc deux renseignements compatibles, rouge et cercle, et peut nommer la carte. Bob pouvait déjà la nommer avant cette transmission. Charlie garde seulement rouge pour son propre choix entre les deux cartes ; voir qu’un renseignement a été transmis ne lui donne pas la valeur transmise.
Charlie peut toutefois déterminer quelque chose de plus précis sur les deux autres personnes. Alice connaît sa couleur ; elle vient de recevoir le symbole de Bob. Chaque association de rouge avec l’un des deux symboles présents sur les rouges désigne une carte unique. Il sait donc qu’Alice peut désormais répondre, sans savoir si sa réponse sera cercle rouge ou carré rouge. Nora retire la formulation « Charlie ne sait rien de ce que cet échange a changé ». Il ne connaît pas la carte, mais il connaît le résultat de l’échange sur la possibilité d’Alice de la déterminer.
Changer la question ou rendre l’indice public
Dans cette branche avec cercle transmis en privé, Nora choisit de demander à Charlie la couleur, et non le nom complet de la carte. Il répond rouge, conformément à l’annonce publique initiale. Elle ne présente pas cette réponse comme une victoire où il aurait identifié le symbole caché. Les deux cartes encore possibles partagent la couleur demandée ; cette question possède donc une réponse déterminée dans ses renseignements. La préparation conserve le libellé plus limité avec la réponse qu’il autorise.
Pour terminer sur le nom complet, Nora retient ensuite une révélation différente : Bob annonce publiquement « mon symbole est cercle ». Charlie rapproche ce contenu du rouge déjà public et peut nommer le cercle rouge. Nora remplace la simple phrase « j’ai trouvé » par cette annonce pour la fin choisie. Ce remplacement ne donne pas une nouvelle carte à Bob ; il rend accessible le renseignement qui manquait au public. Alice n’a pas besoin de recevoir une seconde fois son message privé pour maintenir le résultat.
Le dossier garde ainsi deux fins remplies plutôt qu’un seul mot « réponse ». La première demande la couleur à Charlie et conserve deux possibilités pour la carte entière. La seconde publie le symbole, puis lui demande le nom de la carte. Nora ne combine pas la question limitée de la première avec le résultat complet de la seconde pour affirmer que Charlie possédait déjà tous les renseignements. Les événements de transmission appartiennent à chaque fin : un contenu peut être disponible pour deux personnes et rester absent de ce que la troisième a reçu.
Une carte ajoutée change ce qu’une ignorance permet d’écarter
Nous construisons un catalogue distinct de cinq cartes : les quatre précédentes et un carré bleu supplémentaire. Il est connu de tous dès le début de cette branche. Nora choisit encore le cercle rouge, donne la couleur à Alice et le symbole à Bob, puis recueille séparément leurs réponses initiales avant toute annonce. Tous deux ne peuvent pas nommer la carte avec leur seul indice. Le choix caché est resté le même, mais le catalogue à utiliser n’est plus celui du premier jeu.
Rouge comporte deux cartes et bleu aussi. Une couleur incapable de désigner seule la carte peut donc être rouge ou bleu. Cercle comporte deux cartes ; carré en comporte désormais deux également. L’ignorance initiale de Bob peut correspondre à l’un ou l’autre de ces symboles. Quand les deux réponses deviennent publiques, les quatre cartes rouges ou bleues restent compatibles. Seul le triangle vert, unique à la fois par sa couleur et par son symbole, est écarté. Charlie ne peut plus conclure cercle rouge à partir des mêmes mots de réponse.
Nora retire effectivement l’ancienne conclusion de sa préparation à cinq cartes. Elle ne supprime pas le carré bleu du catalogue pour retrouver une fin plus rapide, et ne transforme pas une des ignorances en indice rouge. Le carré bleu a changé deux comparaisons initiales : bleu ne suffisait plus à Alice et carré ne suffisait plus à Bob. La différence n’est donc pas seulement un nom de carte ajouté à une liste de contrôle ; elle a rendu admissibles des situations où les deux joueurs auraient aussi répondu qu’ils ne pouvaient pas déterminer la carte.
Pour achever cette nouvelle branche, Nora fait annoncer rouge en public par Alice. Les deux rouges restent possibles pour Charlie, tandis que Bob, avec cercle, peut déterminer le cercle rouge. Elle conserve cependant la demande de fin collective : chacun doit pouvoir donner le nom complet avec les renseignements qu’il a reçus. Bob annonce donc ensuite cercle publiquement. Charlie rejoint alors la réponse unique. Nora garde ces deux annonces directes dans la préparation à cinq cartes ; elle n’attribue pas leur résultat aux seules deux ignorances initiales, qui ne l’avaient pas déterminé.
La différence entre les deux catalogues reste lisible dans le dossier. À quatre cartes, les deux réponses initiales vraies suffisaient à rendre cercle rouge public. À cinq, elles ne suffisent plus et la fin retenue ajoute deux contenus précis. Nora ne parle pas d’un renseignement privé erroné dans le second jeu : Alice a reçu rouge et Bob cercle dans les deux. C’est l’ensemble des possibilités communes qui a changé, puis les annonces nécessaires à la fin qu’elle a effectivement choisie.
Donner le catalogue complet avant d’utiliser sa fermeture
Dans une autre situation créée, Charlie sait seulement que trois cartes existent : cercle rouge, carré rouge et cercle bleu. Le dossier lui donne aussi deux catalogues complets encore possibles, le premier à quatre cartes avec triangle vert, le second à cinq avec ce triangle et carré bleu. Il ignore lequel Nora utilise. Alice et Bob, eux, connaissent le catalogue effectivement employé. Leurs deux ignorances initiales sont rendues publiques. Nora avait préparé une conclusion de Charlie sur cercle rouge comme s’il possédait déjà le catalogue à quatre.
Charlie compare les deux ensembles autorisés. Avec le catalogue à quatre, les deux annonces initiales ne permettent que cercle rouge. Avec celui à cinq, elles permettent les quatre cartes rouges ou bleues. Le choix de catalogue encore ouvert empêche donc la première conclusion d’être certaine pour lui. Nora retire sa réponse complète de ce moment de la scène. Charlie n’invente pas toutes les cartes imaginables : il garde les possibilités exactement définies par les deux catalogues donnés, dont l’un suffit déjà à contredire l’unicité annoncée.
Nous ajoutons ensuite une précision nouvelle et publique : Nora utilise le catalogue à cinq cartes. Charlie conserve alors les quatre possibilités rouges ou bleues autorisées par les deux ignorances. Cette précision ferme la question du catalogue, mais ne ferme pas celle de la carte. Nora reprend la fin effectivement remplie, avec rouge puis cercle annoncés publiquement. Le résultat devient unique grâce à ces contenus après clarification du catalogue, sans présenter la clarification seule comme si elle avait déjà révélé le symbole ou la couleur cachés.
Changer la carte retire aux anciens indices leur portée actuelle
Pour une dernière scène indépendante, nous revenons au premier catalogue à quatre et à une réponse devenue publique : cercle rouge. Nora annonce ensuite qu’elle a remplacé cette carte par une autre de ce même catalogue, forcément différente de cercle rouge. Nous créons son nouveau choix, carré rouge, connu d’elle seule à ce moment. Les anciens indices rouge et cercle décrivaient la carte précédente ; aucun nouvel indice privé n’est donné automatiquement aux joueurs. Tous ont entendu l’annonce du remplacement.
Charlie garde donc carré rouge, cercle bleu et triangle vert comme possibilités pour la nouvelle carte. Il ne conserve pas le cercle rouge parce que tout le monde avait pu le nommer auparavant : ce nom concerne précisément la carte qui vient d’être remplacée. Nora retire sa première demande de répéter le nom trouvé comme réponse actuelle. Alice ne peut pas davantage réunir son ancien rouge et l’ancien cercle de Bob pour certifier le nouvel objet. Le fait que rouge soit aussi la couleur du nouveau choix ne transforme pas son indice antérieur en une information donnée sur celui-ci.
Nora annonce maintenant publiquement la couleur de la nouvelle carte : rouge. Parmi les trois possibilités actuelles, seul le carré rouge possède cette couleur. Charlie peut donc nommer la nouvelle carte sans recevoir son symbole. Nora choisit cette fin et retire l’annonce de cercle qu’elle avait recopiée du premier déroulement. Rouge suffisait désormais parce que le remplacement avait exclu cercle rouge ; au début du jeu, il laissait deux cartes possibles. L’annonce garde la même couleur, mais elle rejoint un état public différent et décrit un objet différent.
La préparation finale conserve le premier résultat, l’annonce du remplacement et la nouvelle révélation dans cet ordre. Elle ne réécrit pas l’ancien symbole cercle en carré pour donner l’impression que Bob avait toujours possédé le bon indice. Les premiers renseignements demeurent corrects sur la première carte, les nouveaux sur la seconde. Nora remet ainsi une scène où la réponse ancienne cesse d’être actuelle, puis une réponse nouvelle devient déterminée après une annonce suffisante pour ce nouvel état.
Savoir qu’un autre ne peut pas trouver est une affirmation plus forte
Une nouvelle branche repart du catalogue à quatre cartes, mais Nora choisit cette fois le cercle bleu. Alice reçoit bleu et Bob cercle. Nous gardons les renseignements initiaux séparés avant toute annonce. Pour ce dernier exercice, une personne peut certifier une proposition sur un autre joueur seulement si cette proposition est vraie pour toutes les cartes encore compatibles avec son propre indice. Cette convention prolonge notre modèle fini ; elle ne prétend pas observer la pensée d’une personne réelle.
Bob ne pouvait pas nommer la carte avec son seul cercle : cercle rouge et cercle bleu restaient possibles. Alice, avec bleu, possède seulement cercle bleu. Elle peut donc certifier l’ignorance initiale de Bob. Dans le cas d’une couleur rouge, cette certification aurait échoué : Alice aurait gardé cercle rouge et carré rouge. Bob serait resté incertain avec cercle sur la première, mais aurait déterminé la seconde avec carré. Le fait que Bob soit effectivement incertain dans cercle rouge ne suffirait donc pas à Alice pour le certifier depuis rouge. Sa certification doit tenir dans toutes ses possibilités, pas seulement dans celle que le lecteur sait choisie.
Nora retient l’annonce publique d’Alice : « Avec mon seul indice initial, je pouvais certifier que Bob ne pouvait pas nommer la carte avec le sien. » Charlie examine les couleurs possibles. Rouge échoue à cause du carré rouge ; vert échoue parce que triangle aurait suffi à Bob. Bleu reste seul, et il désigne cercle bleu dans ce catalogue. Tous peuvent désormais nommer cette carte. Nora ne transforme pas la phrase en un simple « Bob ne pouvait pas trouver », qui aurait laissé les deux cercles possibles au public. Elle conserve la certification d’Alice et son moment initial, puisque Bob peut trouver après l’annonce qui vient précisément de rendre la carte unique.
Une préparation d’essai faisait dire à Alice « Je ne pouvais pas trouver, mais je pouvais certifier que Bob ne le pouvait pas non plus », toujours à propos de leurs seuls indices initiaux. Nora la retire : l’ignorance d’Alice exige rouge, tandis que sa certification exige bleu dans ce catalogue. Aucune carte ne satisfait les deux. Dans la branche réellement retenue, Alice pouvait déjà nommer cercle bleu, et elle pouvait certifier l’ignorance initiale de Bob. Nora réécrit donc son premier membre en « Je pouvais nommer la carte », sans modifier l’indice de Bob. Sa fin conserve une personne qui connaissait la réponse et l’ignorance de l’autre avant l’annonce, puis un résultat rendu public par cette annonce.
Ces choix ne mesurent ni l’intelligence des convives ni la facilité d’une partie réelle. Ils gardent une devinette créée attachée à son catalogue, aux renseignements de chaque personne et au moment des annonces. Le dossier permet de choisir une fin où un joueur répond avec ses indices privés, une fin où tous possèdent la réponse, ou une question plus limitée. Chacune conserve les transmissions qui l’ont rendue possible, sans attribuer à tous un contenu seulement entendu par quelques-uns.