Léa dessine une forme de papier pour la table d'un dîner inventé. Elle souhaite y placer un repère qu'elle appelle d'abord « le centre ». Martin propose le milieu du rectangle qui entoure le dessin. Léa voudrait plutôt donner le même poids à chaque portion de surface présente. Ces deux demandes ne donnent pas nécessairement le même point, et aucune ne garantit encore que ce point appartienne à la forme. Leur préparation doit donc choisir un critère, calculer son résultat et vérifier la place effectivement autorisée au repère.
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Ces pages ont été lues pour identifier la catégorie. Aucun papier ni procédé fabricant n'est essayé ; la forme, les coordonnées et le critère sont stipulés ici.
Notre repère est un point de taille nulle dans un dessin, pas une étiquette matérielle dont il faudrait contrôler la largeur. Chaque unité de surface reçoit le même poids. Ce choix ne mesure aucune masse, épaisseur, rigidité ou stabilité d'un objet réel. Les unités ne sont pas des centimètres d'un produit. Le bord pourra d'abord recevoir le point ; une branche ultérieure demandera strictement l'intérieur. Aucune forme ne sera découpée matériellement et aucun placement ne garantit une installation de table sûre.
Une forme en L et deux rectangles sans recouvrement
Le contour suit dans cet ordre les six sommets (0,0), (4,0), (4,1), (1,1), (1,4), (0,4), puis revient au premier. La forme comprend un rectangle horizontal entre x égal à zéro et quatre, y égal à zéro et un, puis un rectangle vertical entre x égal à zéro et un, y égal à un et quatre. Ces deux régions ne se recouvrent pas en surface. Leur côté commun a une largeur nulle dans le calcul d'aire. Nous conservons cet ordre du contour avant toute proposition de centre.
Le rectangle horizontal possède une aire de quatre et son milieu est (2,1/2). Le rectangle vertical possède une aire de trois et son milieu est (1/2,5/2). Pour donner le même poids à chaque unité de surface, Léa donne donc quatre fois le poids du premier point et trois fois celui du second. La somme des premières coordonnées pondérées vaut huit plus trois demis, soit dix-neuf demis. La même somme pour les secondes vaut deux plus quinze demis, également dix-neuf demis. En divisant chacune par l'aire totale sept, elle trouve le point G de coordonnées (19/14,19/14). Les deux rectangles n'ont pas reçu le même poids parce que leurs surfaces n'étaient pas égales.
Martin avait proposé de prendre simplement le milieu entre les centres des deux rectangles. Il aurait obtenu (5/4,3/2). Léa refuse ce point pour le critère uniforme sur la surface : il donnait autant de poids aux trois unités du rectangle vertical qu'aux quatre du rectangle horizontal. Elle garde ses deux aires auprès des deux centres avant d'annoncer G. Elle peut choisir un autre critère, par exemple donner un poids égal à chacun des deux rectangles nommés, mais il faudrait alors le dire. Le découpage employé pour le calcul ne reçoit pas silencieusement une nouvelle règle de pondération à la place des unités de surface.
Le point G n'appartient pourtant pas au L. Ses deux coordonnées dépassent un ; il se trouve dans le carré retiré en haut à droite du rectangle extérieur. Martin retire donc la phrase « le centre d'aire est toujours sur la pièce ». Le calcul n'a pas rendu le creux occupé. Léa conserve G comme résultat de son critère et refuse de poser sur le papier fictif un point que ses coordonnées placent dans le vide. Elle demande maintenant une seconde décision, portant sur une place autorisée. Changer la place choisie ne réécrit pas le centre qu'elle vient de calculer.
Le milieu extérieur et la moyenne des sommets donnent encore d'autres points
Le rectangle extérieur mesure quatre sur quatre. Son milieu est (2,2), lui aussi hors du L. Martin lui attribuait initialement la surface seize comme poids total du dessin. Léa retire cette valeur : neuf unités du rectangle sont absentes et sept présentes. Le point (2,2) peut rester le milieu du cadre, mais pas le centre uniforme de la surface conservée. Pour leur feuille de comparaison, elle place donc trois indications distinctes : le cadre de surface seize, la forme de surface sept et son centre G. Aucun remplissage du creux n'est ajouté pour rendre ces indications équivalentes.
Martin calcule ensuite la moyenne des six sommets. Les premières coordonnées totalisent dix et les secondes également dix ; leur moyenne vaut (5/3,5/3). Il propose ce point parce qu'il a utilisé tous les coins de la liste. Léa refuse de le donner comme centre d'aire : les six sommets sont six points nommés, sans surfaces égales qui leur seraient attachées. Le résultat diffère de G. Elle conserve la liste des coordonnées sur le contour, mais ne transforme pas un vote égal entre ces coins en une pondération égale de chaque unité de surface. La présence de tous les coins dans le calcul n'a pas suffi à lui donner le critère demandé.
Pour vérifier ce défaut sur une même forme, Léa insère le point (2,0) entre (0,0) et (4,0). Le contour reste exactement le même : les deux segments remplacent un segment droit déjà présent. L'aire et G ne changent donc pas. La moyenne des sept points devient pourtant (12/7,10/7). Martin retire sa proposition de faire dépendre le centre de la précision avec laquelle il a découpé la liste des segments. Il peut ajouter ce point pour retrouver un endroit du bord sans modifier le centre uniforme. La moyenne des sommets répondrait à une liste de points également pondérés, dont l'insertion a réellement changé les membres ; elle n'est pas une mesure indépendante de cette liste pour la région inchangée.
Un contrôle du contour conserve le sens des parcours
Léa contrôle l'aire sans repartir des deux rectangles. Pour chaque segment du contour, elle multiplie la première coordonnée du départ par la seconde de l'arrivée, puis retranche la première de l'arrivée multipliée par la seconde du départ. Les six contributions valent zéro, quatre, trois, trois, quatre et zéro. Leur somme quatorze, divisée par deux, donne sept. Cette écriture utilise le contour simple dans son ordre, avec sa fermeture. Léa retrouve l'aire précédente et garde la liste des contributions pour contrôler ce qu'un changement d'ordre lui ferait compter.
Martin lit maintenant le même contour en sens inverse, sans déplacer les sommets. Chaque segment inversé change le signe de sa contribution ; la somme donne moins quatorze et l'aire orientée moins sept. Léa refuse d'annoncer une surface physique négative. Elle conserve sept pour l'aire de la région, avec le sens de parcours auprès du signe. Le calcul du centre par les contributions doit garder ce même sens dans le numérateur et le dénominateur : inverser les deux conserve G. Martin ne prend donc pas seulement la valeur absolue du dénominateur en laissant un numérateur inversé. Leur contrôle de signe protège les coordonnées du résultat, au lieu de corriger arbitrairement un nombre négatif après le calcul.
Ils déplacent ensuite tout le dessin de dix vers la droite et de deux vers le bas dans une branche de présentation. Chaque coordonnée devient x plus dix et y moins deux. L'aire reste sept et G devient (159/14,−9/14), c'est-à-dire l'ancien G soumis au même déplacement. Ce point reste dans le creux déplacé, malgré une première coordonnée maintenant supérieure à dix. Martin garde le contour transformé avec le centre transformé. Il ne contrôle pas leur appartenance en comparant ces nouvelles coordonnées aux anciennes limites zéro et quatre. Les signes et les grandes valeurs du nouveau repère ont changé la description des places, pas la région relative où le point tombe.
Choisir un point autorisé demande un critère supplémentaire
Léa donne maintenant un objectif précis au point qu'elle posera sur le L : réduire la somme, sur toute la surface uniforme, des distances au carré entre chaque portion et ce point. Ce n'est ni un temps de trajet ni une distance maximale à un invité. Pour un point P, cette somme égale celle obtenue en G, plus sept fois la distance au carré entre P et G. Le terme croisé disparaît parce que les écarts de la surface à son centre ont une somme nulle dans chaque coordonnée. Nous ne recommandons aucun placement matériel de charge ; cette identité définit seulement la comparaison de leurs points dans le dessin.
Sans contrainte de place, G est donc le seul minimum. Avec la permission de poser seulement sur le L, Léa cherche les points de la région les plus proches de G. Dans le rectangle horizontal, la première coordonnée 19/14 est autorisée ; la seconde doit au plus valoir un. Le point le plus proche est donc (19/14,1). Dans le rectangle vertical, c'est (1,19/14). Chacun se trouve à cinq quatorzièmes de G, avec une distance au carré de vingt-cinq cent quatre-vingt-seizièmes. Léa obtient deux choix minimaux sur le bord. Elle ne désigne pas arbitrairement (1,1), qui s'éloignerait de G dans les deux coordonnées au lieu d'en conserver une.
Pour leur dessin final, Martin préfère le point (19/14,1), sur le bord horizontal du creux. Léa l'accepte et conserve (1,19/14) comme autre minimum possible. Leur préférence a choisi une des deux places que le calcul ne départageait pas. La somme des distances au carré augmente de vingt-cinq vingt-huitièmes par rapport à celle en G, puisque les vingt-cinq cent quatre-vingt-seizièmes sont multipliés par l'aire sept. Martin indique cette augmentation auprès de la contrainte de place. Il ne décrit pas son point retenu comme G arrondi : une coordonnée a été fixée au bord par la règle, pas par une précision décimale insuffisante.
Une branche interdit désormais le bord et autorise seulement l'intérieur strict du L. Les deux places minimales précédentes deviennent interdites. Martin propose (19/14,9/10), admissible mais plus éloigné ; Léa peut l'améliorer par (19/14,19/20), puis par un point encore plus près de la hauteur un tout en restant dessous. Il n'existe pas de meilleur point atteint dans cette branche : la valeur peut approcher celle du bord, sans qu'un point intérieur l'obtienne. Léa refuse donc la remise « minimum intérieur trouvé » et garde la proposition comme un point admissible seulement. Pour conserver un optimum réellement atteint, Martin réautorise ensuite le bord dans une autre demande et reprend la place retenue auparavant.
Retirer une bande change le centre sans le retenir dans la surface
Nous repartons du L initial et retirons la bande de la branche horizontale située entre x égal à deux et trois, avec y entre zéro et un. Sa surface vaut un et son centre est (5/2,1/2). Léa retire donc cinq demis de la première somme pondérée dix-neuf demis, puis une moitié de la seconde. Elle obtient les sommes sept et neuf pour une surface restante de six. Le nouveau centre G2 vaut (7/6,3/2). Martin conserve ce retrait dans son calcul au lieu de retirer seulement un septième aux deux coordonnées anciennes : la zone retirée avait une place déterminée, dont les deux contributions n'étaient pas égales.
La première coordonnée du centre baisse de 19/14 à 7/6, parce que la bande retirée se trouvait plus à droite que l'ancien centre. La seconde monte jusqu'à trois demis, parce que cette bande se trouvait en dessous. G2 reste néanmoins hors de la surface : ses deux coordonnées dépassent un et il se situe encore dans le creux. Léa ne donne pas la baisse de la première coordonnée comme preuve qu'il serait rentré sur la pièce. Elle vérifie les deux coordonnées ensemble contre la région restante. Le calcul a rapproché G2 de la branche verticale, mais n'a pas encore produit la place autorisée au point qu'ils veulent poser.
Sous le même objectif de distances au carré et avec le bord autorisé, le point vertical (1,3/2) se trouve à un sixième de G2. Le candidat horizontal (7/6,1) en est éloigné d'une moitié. Ces deux points restent présents malgré la bande retirée, qui commence à x égal à deux. Léa retient donc le premier, avec une distance au carré d'un trente-sixième contre un quart pour le second. La symétrie des deux minimums a disparu après le retrait. Martin retire de la fiche la permission de choisir indifféremment l'un des deux anciens côtés. Il reçoit le point vertical précis, sous la forme modifiée et son nouveau centre, sans transférer les deux options du dossier initial.
Le choix uniforme portait sur la surface restante de six. Si Martin décide au contraire de donner double poids à la branche verticale, il crée un autre objectif, pas une correction du calcul de G2. Cette proposition différente n'est pas celle que leur fiche vient de calculer. Léa garde la bande retirée comme zone absente, sans lui donner un poids négatif dans une construction finale. La soustraction servait à calculer les moments de la région restante ; celle-ci possède partout le même poids positif de départ. Cette limite évite de transformer leur méthode de retrait en annonce sur une matière réelle ou en un centre de plusieurs objets qu'ils n'ont pas pesés.
Un autre poids par zone peut placer le centre à l'intérieur
Une branche repart du L complet et de ses deux rectangles sans recouvrement. Martin stipule trois unités de poids par unité de surface dans le rectangle horizontal, une dans le vertical. Il ne prétend mesurer aucun papier. Le premier rectangle reçoit donc un poids douze, le second trois ; la surface reste sept tandis que le poids total devient quinze. La somme pondérée pour x vaut vingt-quatre plus trois demis, soit vingt-cinq et un demi ; celle pour y vaut six plus quinze demis, soit treize et un demi. Le centre devient (17/10,9/10), dans l'intérieur de la branche horizontale. Léa retient ce point sous le nouvel objectif pondéré. Elle ne conserve pas la place de bord choisie pour l'objectif uniforme : le minimum sans contrainte se trouve maintenant lui-même dans la région autorisée.
Pour savoir quand ce changement de place se produit, Léa remplace le poids horizontal trois par un poids k positif, en gardant un pour le vertical. La seconde coordonnée du centre vaut (2k+15/2) divisé par (4k+3). Elle devient au plus un exactement lorsque k atteint neuf quarts. À neuf quarts, le centre (13/8,1) appartient au bord du creux ; avec trois, il entre réellement dans l'intérieur, à la hauteur neuf dixièmes. Martin ne confond donc pas une autorisation de bord avec celle d'intérieur strict. Il choisit k égal à trois pour cette dernière demande et transmet la pondération correspondante. Sous le poids uniforme k égal à un, aucun de ces points intérieurs n'aurait obtenu le minimum de la branche uniforme précédente.
Un contour qui se croise n'a pas la même règle d'aire
Martin remet enfin une liste différente : (0,0), (2,2), (0,2), (2,0), puis fermeture. Deux segments se croisent en (1,1). Les contributions orientées de cette liste donnent une somme nulle. Léa refuse de conclure que le dessin ne contient aucune région. Leur nouvelle demande stipule que les deux lobes triangulaires sont présents : celui du bas relie (0,0), (2,0), (1,1), celui du haut (1,1), (2,2), (0,2). Chacun a une aire d'un. Leur réunion, qui ne partage qu'un sommet, possède une aire de deux. Le zéro orienté résultait de contributions opposées sur les deux lobes, pas d'une absence de surface dans la demande donnée.
Pour cette réunion, le centre du triangle inférieur vaut (1,1/3), celui du supérieur (1,5/3). Avec deux aires égales, leur centre commun vaut (1,1), exactement au sommet partagé. Martin refuse pourtant de diviser la formule du contour croisé par son aire orientée nulle pour retrouver ce point. Il utilise les deux régions effectivement stipulées et leurs poids positifs. Léa garde la liste croisée auprès du contrôle qui l'a rejetée comme contour simple. Le point commun est autorisé si le sommet appartient à la région choisie ; une permission d'intérieur strict l'exclurait de nouveau. L'aire totale deux ne répondait pas seule à cette question d'appartenance du point calculé.
Martin propose de réordonner la liste en (0,0), (2,0), (2,2), (0,2). Elle donne un carré simple d'aire quatre, avec le même centre (1,1). Léa refuse de l'appeler une autre écriture du dessin aux deux lobes. Les segments ont changé, et le carré remplit aussi des zones que les deux triangles ne contenaient pas. Un même centre n'a donc pas suffi à reconnaître la région conservée. Elle choisit les deux lobes pour cette dernière comparaison et donne leur aire deux auprès du centre commun. La liste des quatre coins, sans leur ordre de contour et sans la règle de régions remplies, aurait laissé ces deux constructions différentes sous le même nom.
La feuille retenue pour la première forme montre le L de surface sept, son centre G hors de la région et le point autorisé (19/14,1) choisi sur le bord. Les branches avec bande retirée, intérieur strict ou lobes croisés restent distinctes. Léa peut annoncer une place précise avec son critère, puis reconnaître les autres points que ce critère n'avait pas imposés. Aucun calcul de papier ne devient une mesure de matériau réel ; la remise conserve seulement les surfaces, les poids et les places qu'ils ont effectivement donnés au dessin.