Camille compose une fiche abstraite où un rapport doit être écrit en décimal. La proportion et la commande sont stipulées ; aucune quantité alimentaire ni mesure d'un appareil n'est examinée. Nora doit choisir entre une écriture finie, une troncature et un bloc qui se répète. Ces trois remises peuvent commencer par les mêmes chiffres sans représenter le même nombre. Notre exercice conserve la fraction exacte et annonce le sens de l'écriture avant de la raccourcir.
La première fraction vaut un septième. Pour obtenir ses chiffres, Nora travaillera par division entière, avec un reste toujours compris entre zéro et six. Nous utiliserons ensuite d'autres fractions irréductibles, puis une lecture reçue sous forme de préfixe et de bloc périodique. Le nombre affiché ne sera pas choisi d'après une photographie ou la présentation d'une œuvre.
Notice P1 du Met : catégorie Drawings.
Notice P2 du Met : catégorie Prints.
Notice P3 du Met : catégorie Drawings.
Les notices fournissent seulement des catégories textuelles ; aucune image, composition ou méthode artistique n'est appliquée aux chiffres créés.
Un chiffre ne remplace pas le reste qui prépare le suivant
Nora part du numérateur un. Multiplier ce reste par dix donne dix ; la division par sept fournit le chiffre un et le reste trois. Multiplier trois par dix donne trente, donc le chiffre quatre et le reste deux. Les étapes suivantes donnent deux avec reste six, huit avec reste quatre, cinq avec reste cinq, puis sept avec reste un. Nora conserve les six chiffres 142857 avec les restes trois, deux, six, quatre, cinq, un. Le dernier reste retrouve celui du départ, avant le premier chiffre.
La règle reçoit un reste r, calcule dix r, puis sépare le quotient entier d et le nouveau reste r'. L'égalité dix r égale sept d plus r' contrôle chaque ligne. Comme r est inférieur à sept, dix r est inférieur à soixante-dix et d reste un chiffre de zéro à neuf. Le quotient fournit la prochaine place imprimée ; le reste dirige la continuation. Camille ne peut pas reprendre la division à partir du seul chiffre quatre : il n'est pas le reste deux qui avait déterminé la troisième place.
Nora sait aussi ce que les premières places ont déjà représenté. Après six chiffres, la valeur 142857 divisée par un million est la partie écrite, tandis que le reste un correspond encore à un septième de millionième. La somme des deux redonne exactement un septième. Elle ne traite donc pas la partie écrite comme si le reste final avait disparu parce que la colonne était fermée. Cette égalité relie le dernier reste au nombre original et justifie la continuation à partir de lui.
Revenir au même reste impose ensuite les mêmes divisions, donc les mêmes chiffres. Nora peut écrire « le bloc 142857 se répète » pour cette fraction. La première répétition de reste n'est pas située au premier chiffre un rencontré n'importe où : elle concerne la valeur du reste avant une division. Des chiffres égaux pourraient apparaître avec des restes différents et annoncer des continuations différentes. Ce rappel de déterminisme des états reste une mise en place, déjà rencontrée dans une autre récurrence ; il ne suffit pas à lui seul pour nos certificats de longueur.
Écrire une fois le bloc n'écrit pas la fraction entière
Camille remet simplement 0,142857 et annonce un septième exact. Nora reprend l'égalité précédente : la différence avec un septième vaut un sur sept millions. Elle retire le mot exact de cette remise finie. Si la commande autorise une troncature à six places, les six chiffres conviennent avec leur erreur positive renseignée. Si elle exige le nombre exact, Nora conserve le bloc répété ou la fraction un septième. Les chiffres finis ne deviennent pas infinis par la seule présence du mot bloc dans une légende.
Pour vérifier une écriture périodique sans faire une infinité de divisions, Nora nomme x le nombre 0,142857142857… . Multiplier par un million décale exactement un bloc : un million x vaut 142857 plus x. Leur différence donne 999999 x égal à 142857, donc x=142857/999999. Cette fraction se réduit à un septième. La multiplication par un million dépend des six places du bloc, et non de la valeur sept qui terminait sa première copie.
La même opération transforme le bloc répété 001 en la fraction 1/999. Les deux zéros initiaux du bloc comptent dans sa longueur trois, même si son entier vaut un. Si Camille remplaçait ce bloc par 1, elle obtiendrait 1/9, non 1/999. Nora garde donc deux renseignements : le nombre porté par le bloc et le nombre de places qui l'écrivent. Le résultat ne dépend pas seulement du numéro un qu'une lecture rapide conserverait après avoir effacé les zéros.
Une fraction irréductible indique si les chiffres peuvent s'arrêter
Camille demande maintenant une écriture finie exacte pour un huitième. Après trois places, Nora obtient 125 et le reste zéro. Elle remet 0,125. Ce résultat est possible parce que huit divise mille : un huitième vaut 125/1000. Si une fraction irréductible p/q se termine après t places, elle s'écrit A/10^t ; l'égalité p×10^t=Aq impose que q divise 10^t, puisque p et q sont premiers entre eux. Les seuls facteurs premiers de ce dernier nombre sont deux et cinq.
Réciproquement, si q ne contient que des facteurs deux et cinq, elle peut choisir t assez grand pour que q divise 10^t. Le numérateur devient alors l'entier p×10^t/q et fournit une écriture finie. Nora possède donc les deux directions du contrôle : dans la forme irréductible, une terminaison décimale existe exactement lorsque le dénominateur ne possède aucun autre facteur premier. Sept en possède un autre ; elle refuse une écriture finie exacte de un septième, sans devoir attendre un nombre arbitraire de chiffres avant de conclure.
L'irréductibilité n'est pas une annotation optionnelle. Camille donne quatorze cinquante-sixièmes, dont le dénominateur contient sept, et pense devoir refuser la terminaison. Nora réduit d'abord la fraction à un quart. Son écriture 0,25 est exacte. Le facteur sept était également présent au numérateur et n'appartenait plus au dénominateur du nombre réduit. Nora conserve la réduction sur la fiche ; elle ne généralise pas la règle de terminaison à tous les dénominateurs écrits avant annulation de leurs facteurs communs.
Le préfixe ne peut pas toujours être absorbé dans le bloc
Nora prépare un vingt-huitième. Les premières divisions produisent zéro avec reste dix, puis trois avec reste seize. À partir de seize, les six étapes donnent cinq, sept, un, quatre, deux, huit et retrouvent seize. La feuille exacte possède donc le préfixe 03, puis le bloc 571428 répété. Les restes un et dix du début ne reparaissent pas dans ce circuit. Nora n'annonce pas que le bloc répété commence immédiatement après la virgule simplement parce que la liste de restes est finie.
Pour retrouver la fraction depuis cette feuille, elle additionne deux parts. Le préfixe représente trois centièmes. Le bloc répété représente 571428/999999, mais commence deux places plus loin, donc doit encore être divisé par cent. Leur somme vaut [3×999999+571428]/99999900, soit 3571425/99999900. En réduisant, Nora retrouve un vingt-huitième. Ce calcul vérifie ensemble les chiffres du préfixe, la longueur deux qui le place et la longueur six du bloc, au lieu de comparer seulement la première copie à une décimale approximative.
Camille voudrait écrire le préfixe 3 au lieu de 03 tout en conservant les autres signes. Cela le ferait commencer à un dixième, et non à trois centièmes ; le bloc commencerait également une place plus tôt. La valeur reconstruite serait dix fois un vingt-huitième, cinq quatorzièmes. Nora refuse cette simplification. Le zéro initial n'est pas une case décorative qui ne vaut rien dans le calcul : il indique à quelle puissance de dix commence la partie périodique.
Pour prouver que les deux places de préfixe sont nécessaires, Nora regarde une écriture avec t places avant répétition et un bloc de L places. Sa fraction possède un dénominateur qui divise 10^t(10^L−1), après réduction. Le second facteur n'est divisible ni par deux ni par cinq, puisqu'il finit par neuf. Dans vingt-huit, le facteur quatre exige donc au moins deux facteurs deux apportés par 10^t, ce qui impose t≥2. La feuille préparée atteint deux : le préfixe est minimal, pas seulement celui qu'une procédure particulière avait trouvé.
Si le dénominateur réduit s'écrit 2^a×5^b×m, avec m premier avec dix, le même argument impose t au moins égal au plus grand de a et b. Choisir ce t suffit à absorber tous les facteurs deux et cinq dans la puissance de dix. La partie encore périodique dépend alors seulement de m. Nora garde cette règle sur la forme réduite. Pour deux vingt-huitièmes, elle réduit à un quatorzième et trouve une seule place avant le bloc 714285, au lieu de copier deux depuis le dénominateur vingt-huit conservé sans réduction.
Le retour du reste certifie aussi la plus petite période
Après le préfixe de un vingt-huitième, les restes sont tous divisibles par quatre. Les diviser par quatre transforme le circuit en un calcul modulo sept, depuis le reste quatre. Chaque pas multiplie par dix et garde le reste modulo sept. Revenir au point de départ après L pas exige que 10^L soit égal à un modulo sept, puisque ce départ quatre est inversible modulo sept. Ce contrôle porte sur le nombre de chiffres périodiques, indépendamment des deux places déjà absorbées dans le préfixe.
Les restes de dix à la puissance un, deux, trois, quatre, cinq et six modulo sept sont trois, deux, six, quatre, cinq et un. Aucun des cinq premiers n'est un ; le sixième l'est. La période minimale est donc six. Nora ne réduit pas le bloc à trois places parce que 142 et 857 semblent former deux moitiés d'une même décoration. Multiplier par dix à la puissance trois donne moins un modulo sept, pas un. Après trois places, le reste a changé ; la continuation ne recommence pas à son ancienne origine.
La longueur ne dépend pas toujours du nombre de chiffres du dénominateur. Pour un sixième réduit, le facteur deux demande une place de préfixe, puis m vaut trois. Dix vaut un modulo trois, donc la période vaut un. Nora remet 0,1 suivi d'un six répété. Pour un vingt-huitième, m vaut sept et la période vaut six. Elle ne compare pas ces longueurs en ne regardant que six et vingt-huit comme tailles écrites ; les facteurs absorbés par les premières places ont une fonction distincte de ceux qui imposent le retour périodique.
Nora utilise ces informations pour une commande précise : six places de bloc sont permises, mais une seule place de préfixe au maximum. Un vingt-huitième manque cette commande malgré sa période de six ; son préfixe minimal est deux. Deux vingt-huitièmes, réduit à un quatorzième, la satisfait avec un préfixe zéro et le bloc 714285. Nora garde cette seconde valeur uniquement si le changement de fraction est autorisé. Elle ne la livre pas comme une autre écriture de un vingt-huitième : réduire une fraction conserve sa valeur, doubler son numérateur la change.
Deux fractions ne suivent pas forcément le même circuit de chiffres
Camille examine les treizièmes. Pour un treizième, les restes successifs avant les six divisions sont un, dix, neuf, douze, trois et quatre. Le bloc est 076923. Pour deux treizièmes, les restes sont deux, sept, cinq, onze, six et huit ; le bloc est 153846. Ces deux circuits de restes sont disjoints et couvrent les douze restes non nuls modulo treize. Les deux fractions ont une période de six, mais ne sont pas deux départs du même circuit.
Il en résulte que le bloc de deux treizièmes n'est pas une rotation du bloc de un treizième. Une rotation ne ferait que choisir un autre reste de ce premier circuit. Nora conserve les six départs un, trois, quatre, neuf, dix, douze dans une famille et les six autres dans la seconde. Ce regroupement décrit exactement les circuits de division, pas des fractions déclarées égales. Trois treizièmes peut reprendre les chiffres de la première famille depuis son autre reste, tout en conservant sa valeur trois fois plus grande que celle de un treizième.
La commande de Camille fixe finalement le reste initial à deux et permet un seul bloc de six places. Nora remet 153846 répété, avec le chiffre un de la première division de vingt par treize. Elle écarte 076923 de cette remise : ce bloc concerne une autre origine de division et représente un treizième si on le répète depuis la virgule. Le choix ne peut être justifié par la seule longueur six commune. Nora a utilisé le reste demandé pour choisir une famille puis un départ, au lieu de laisser le classement circulaire des mots remplacer la fraction initiale.
Une terminaison possède aussi une écriture infinie de neuf
Une dernière lecture reçue écrit 0,124999… avec des neuf répétés après les trois premières places. Nora ne la compare pas à 0,125 en retirant un dernier neuf, puisqu'il n'y en a pas. La partie 0,124 vaut 124/1000. La suite des neuf commencée à la quatrième place vaut 9/10000 multiplié par un plus un dixième plus son carré et les termes suivants, soit un millième. Leur somme vaut 125/1000, un huitième. Les deux écritures représentent donc exactement le même nombre.
Camille avait conservé « légèrement inférieur à 0,125 » pour cette lecture. Nora retire cette annotation, qui conviendrait à toute troncature finie de la suite mais pas au nombre défini par la répétition infinie. Elle peut remettre 0,124999 à six places comme approximation inférieure, ou 0,124 suivi de neuf répétés comme nombre exact. Le signe de répétition décide quelle somme est reçue. La fiche ne donne pas une précision différente à un nombre exact selon le nombre de neuf qui aurait été imprimé avant les points.
Pour éviter deux écritures dans son catalogue actif, Nora adopte ensuite la convention de préférer une terminaison par des zéros à une queue infinie de neuf quand les deux existent. Un huitième sera donc imprimé 0,125, tout en gardant l'égalité précédente dans le contrôle. Un septième ne reçoit pas cette terminaison, puisqu'il n'en possède aucune. Cette convention choisit une représentation parmi celles d'un même nombre ; elle ne permet pas de remplacer un bloc périodique quelconque par un arrondi fini et de le déclarer exact.
La fiche remise conserve les fractions réduites, les restes et les longueurs des préfixes et des blocs. Les notices restent des références de catégorie ; aucune image ou méthode artistique ne fournit ces divisions. Les écritures et les erreurs contrôlées appartiennent au modèle de nombres annoncé.