Camille prépare trois cartes de papier A, B et C pour trois cases numérotées un, deux et trois. Chacune reçoit un numéro de départ. Nora les présente dans l'ordre A,B,C : une carte prend la première case libre située à son départ ou à droite. Si elle dépasse trois sans trouver de place, l'essai échoue. Nous comparons les départs capables de remplir la rangée, puis une branche de recherche où enlever une carte peut changer la signification d'une case vide.
Les pages suivantes identifient le stationnement. Leurs procédés ne fournissent ni nos cases ni notre règle de recherche.
Hectronic présente la gestion du stationnement.
METRIC présente des systèmes de stationnement.
Parking BOXX présente des compteurs de stationnement.
Aucun équipement n'a été essayé. Le placement classique étudié ici concerne les seules cartes de cette préparation.
Chaque numéro de départ appartient à un, deux, trois. Les cases sont indivisibles et n'accueillent qu'une carte. Une carte ne recule pas et aucune carte déjà posée ne bouge lors d'une arrivée dans le premier modèle. Ces permissions sont données pour le papier ; elles ne décrivent pas une conduite réelle de stationnement. Une permutation des cartes et un changement de leurs numéros de départ sont deux interventions distinctes.
La réussite n'exige pas trois départs différents
Camille inscrit les départs un, un, deux dans l'ordre A,B,C. A prend un. B rencontre A puis prend deux. C commence en deux, rencontre B et prend trois. Les trois cartes sont placées malgré deux départs identiques. Nora garde les déplacements zéro, un et un auprès des numéros réellement atteints. Elle ne remplace pas le deuxième départ par deux pour rendre la préparation plus agréable à regarder : B avait bien demandé de commencer en un, et la règle l'avait avancée jusqu'à deux.
Avec deux, deux, deux, A prend deux et B trois. C manque de place, alors que la case un est vide. Nora refuse d'appeler cette case une réparation déjà disponible : elle se trouve avant le départ de C et la permission ne permet pas de reculer. Elle pourrait modifier le départ d'une carte ou autoriser un autre sens, mais l'essai initial reste un échec. Trois cases pour trois cartes n'ont pas garanti le succès de cette procédure, dont le balayage possède une origine et une direction définies.
Pour vérifier les départs avant leur présentation, Nora les trie et écrit b1,b2,b3. Le critère classique demande b1 au plus un, b2 au plus deux et b3 au plus trois. Si les deux plus grands départs sont trois, deux cartes dépendent d'une seule case. Si le plus petit dépasse un, les trois cartes dépendent seulement de deux et trois. Ces deux déficits empêchent une remise complète. Ce contrôle de capacité est bref : il explique une obstruction commune, sans constituer à lui seul la nouvelle matière du dénombrement qui suit.
Seize triplets parmi les vingt-sept préparations
Nora remplit la liste des triplets réussis plutôt que de garder seulement son premier exemple. Il existe vingt-sept triplets de départs nommés : chaque carte choisit l'un des trois nombres. Les triplets triés qui réussissent sont 111,112,113,122 et123. Leurs nombres de versions nommées sont respectivement un, trois, trois, trois et six. Leur somme vaut seize. Le triplet trié133 est refusé, car son deuxième départ dépasse deux ;222 est refusé dès le premier départ. Les onze essais restants ne disparaissent pas de l'expérience simplement parce qu'une liste réussie a été remise.
Camille donne le triplet 213. A commence en deux et s'y place ; B commence en un et s'y place ; C commence en trois et s'y place. Il appartient aux six versions de123. Elle donne ensuite311 : A prend trois, B un et C deux. Ce second résultat appartient aux trois versions de113. Nora conserve les triplets avec leurs cartes nommées. Trier les trois chiffres pour vérifier le critère n'avait pas autorisé à échanger les numéros portés par A et C dans l'exécution ; les cases finales restent attribuées aux bonnes cartes.
Si les trois départs sont tirés indépendamment et uniformément parmi un, deux, trois, l'essai réussit avec une chance seize vingt-septièmes. Ce nombre concerne le choix des départs, pas une carte tirée dans la liste des six répartitions finales possibles. Nora ne le remplace pas par une chance de un parce que la rangée possède toujours trois cases. Elle peut refuser les onze triplets puis recommencer, mais doit encore indiquer ce qui devient uniforme après ce refus. Les départs nommés réussis ont la même chance conditionnelle ; leurs images finales n'en ont pas nécessairement autant.
Une même disposition peut provenir de plusieurs départs
La disposition A en un, B en deux, C en trois possède six antécédents : A doit partir en un ; B peut partir en un ou deux ; C peut partir en un, deux ou trois. Ces six choix conduisent bien à cette disposition dans l'ordre A,B,C. La disposition inverse A en trois, B en deux, C en un possède au contraire un seul antécédent : les départs trois, deux, un. A doit atteindre trois avant les autres ; B doit ensuite prendre deux sans occuper un ; C doit enfin commencer en un. Nora compare donc six chances sur seize à une sur seize sous le tirage conditionné réussi.
Le relevé entier donne les multiplicités six, deux, trois, deux, deux et un pour les destinations nommées123,132,213,231,312 et321. Ces nombres totalisent seize et retrouvent toutes les préparations réussies. Nora retire la phrase « les six dispositions sont également probables ». Le succès du placement conserve une carte par case, mais il n'a pas rendu constant le nombre de départs produisant chaque disposition. Camille choisit directement une disposition uniforme parmi les six lorsqu'elle veut cette autre loi, puis prend comme départ de chaque carte sa case finale ; la présentation ne crée alors aucun décalage.
L'ordre d'arrivée déplace le coût individuel
Nora conserve les départs A un, B un, C deux, puis présente C,B,A. C prend deux ; B prend un ; A rencontre B puis C et prend trois. Les déplacements deviennent deux pour A, zéro pour B et zéro pour C. L'ancien ordre A,B,C donnait zéro pour A, un pour B et un pour C. Le déplacement total reste deux, mais le maximum passe de un à deux. Camille choisit l'ancien ordre lorsqu'elle exige au plus un de décalage pour chaque carte. Elle ne conserve pas cette promesse sous l'ordre inversé au seul motif que la somme n'a pas changé.
Cette somme se vérifie sans additionner les scans un par un : quand les trois cartes réussissent, les cases finales totalisent un plus deux plus trois, soit six. Soustraire la somme des trois départs donne la somme des décalages. Pour un, un, deux, elle vaut six moins quatre, soit deux, quel que soit l'ordre réussi. Ce contrôle explique le total invariant dans les deux exécutions. Il ne fixe pas le partage entre cartes, que les remises précédentes ont réellement changé. Nora garde donc un objectif par carte auprès de l'ordre qui le satisfait, et la somme auprès de la préparation des départs.
Un cercle supplémentaire permet de compter les réussites de la ligne
Pour obtenir un second certificat du seize, Nora prépare provisoirement quatre cases en cercle et conserve trois cartes. Chaque départ peut maintenant appartenir à un, deux, trois ou quatre ; après quatre, le balayage revient en un. Il existe soixante-quatre triplets de départs. Chaque essai place les trois cartes et laisse une case vide. Cette permission circulaire constitue un outil de comptage séparé : la case quatre n'a pas été ajoutée secrètement à la première rangée, où dépasser trois était toujours un échec.
Ajouter un au numéro de chaque départ modulo quatre tourne toute l'exécution et tourne aussi l'unique case vide. Les quatre rotations d'un triplet nommé sont distinctes : son premier numéro change à chacune avant de revenir. Dans chaque groupe de quatre rotations, la case vide prend successivement chacun des quatre numéros. Il existe donc seize triplets laissant quatre vide. Nora ne divise pas par quatre en supposant une symétrie visuelle des cartes : la rotation agit sur les trois numéros de départ et sur l'exécution, avec une case vide effectivement différente à chaque pas.
Ces seize triplets correspondent exactement aux réussites de la ligne à trois cases. Si quatre reste vide, aucune carte ne peut avoir commencé en quatre ou l'avoir traversée : elle aurait pris cette case libre. Leurs départs appartiennent donc à un, deux, trois, et aucun balayage n'a dépassé trois. Réciproquement, une préparation réussie sur la ligne utilise un, deux, trois et laisse quatre vide lorsqu'on lui donne le cercle provisoire. Nora retrouve ainsi seize par une correspondance dans les deux sens. Elle n'annonce pas que les soixante-quatre essais circulaires seraient tous devenus des réussites sur l'ancienne ligne.
Une boucle change la remise avant de changer le compte
Camille repart maintenant de l'échec deux, deux, deux et demande effectivement une rangée circulaire de trois cases, sans quatrième case. A prend deux, B trois, puis C passe de trois à un et s'y place. Le résultat est A deux, B trois, C un. La nouvelle permission répare cette préparation précise, mais la case un n'était pas accessible dans l'ancien essai. Nora conserve le retour en un parmi les gestes accomplis. Elle ne présente pas cette remise comme la preuve que deux, deux, deux satisfaisait déjà le critère de la ligne.
Si les vingt-sept départs initiaux sont utilisés sur ce cercle de trois cases, tous les essais réussissent. Les destinations123 et231, par exemple, possèdent désormais des antécédents qui pouvaient dépasser trois dans la ligne. Le compte seize ne décrit donc plus la proportion de réussites : la nouvelle proportion vaut un. Nora garde le certificat à quatre cases pour compter la ligne et la permission à trois cases pour accomplir ce placement réparé dans des colonnes séparées. Le nombre de places, le point de retour et la demande de réussite ne peuvent pas être empruntés à deux branches différentes pour décrire une seule exécution.
Enlever une carte peut casser la recherche sans casser les cartes restantes
Une autre branche prépare quatre cases en ligne et trois cartes portant un nom à retrouver. Les départs sont A deux, B deux, C trois. A occupe deux, B trois et C quatre. La case un reste vide. Pour retrouver un nom, Nora commence à son départ et avance ; une case contenant un autre nom la fait continuer, une case jamais utilisée termine la recherche. Chercher C commence en trois, rencontre B puis trouve C en quatre. Les noms ne sont pas effacés par la collision des départs.
Camille retire B de trois puis marque cette case comme vide ordinaire. Chercher C commencerait maintenant en trois et s'arrêterait aussitôt, annonçant à tort son absence. Pourtant C est toujours en quatre. Nora ne répare pas cette erreur en changeant le départ enregistré de C après coup. La carte avait franchi trois parce que B l'occupait à son arrivée ; le nouveau trou a rompu le certificat qui permettait à la recherche de conclure « une case vide rencontrée signifie que ce nom n'a pas été placé plus loin ». Le retrait exige donc une intervention sur la convention de recherche ou sur les cartes déplacées.
Nora choisit une première correction : trois porte la marque « retirée », différente de « jamais utilisée ». La recherche de C passe cette marque et atteint quatre. Un nouveau nom D, de départ trois, peut réutiliser trois ; chercher C y rencontre ensuite D et continue jusqu'à C. Chercher B y rencontre D puis C et échoue seulement après la fin de la ligne, comme il doit le faire. La marque n'a créé aucune carte B restante. Elle a maintenu la possibilité de traverser l'ancien emplacement pour retrouver un autre nom effectivement conservé plus loin.
Une seconde correction conserve seulement deux états de case, mais déplace C de quatre vers trois au moment du retrait de B. C a un départ trois ; sa nouvelle position est donc autorisée et redevient la première place libre qu'elle aurait prise après le retrait. Quatre peut alors être marquée vide ordinaire. Chercher C commence en trois et la trouve ; chercher B commence en deux, rencontre A puis C, puis s'arrête en quatre. Nora remet cette autre préparation avec C déplacée. Elle ne donne pas au même état final la marque retirée en trois et C en trois, qui appartiennent à deux corrections distinctes.
Le retrait à effectuer dépend du départ conservé
Camille revient aux cases A deux, B trois, C quatre, puis retire cette fois A en deux. Déplacer seulement B de trois vers deux rétablit B à son départ, mais laisse trois vide avant C. Chercher C depuis trois s'arrêterait encore trop tôt. Nora poursuit donc la correction : C passe de quatre vers trois. La fin est B deux, C trois, quatre vide. Les deux recherches retrouvent leur nom immédiatement ; chercher A traverse deux et trois puis échoue en quatre. Retirer une seule carte a demandé deux déplacements sous cette méthode, sans que deux cartes aient été supprimées.
Nora compare la solution à marques retirées pour ce même retrait d'A : deux devient retirée, B reste trois et C quatre. Chercher B commence en deux, traverse la marque et le retrouve en trois ; chercher C le retrouve en quatre après B. Les cartes n'ont pas les mêmes positions que dans la correction par déplacements, mais les réponses de recherche sont exactes dans les deux états. Camille choisit les marques lorsqu'elle souhaite conserver les positions de B et C. Elle choisit les déplacements lorsqu'elle veut retrouver une seule case vide terminale sans marque intermédiaire. Sa décision porte sur ce qu'elle conserve et sur la convention réellement remise.
Réutiliser un emplacement retiré ne doit pas dupliquer un nom conservé
Nora reprend A en deux, trois marquée retirée après B, et C en quatre. C porte aussi la valeur six, que Camille demande maintenant de remplacer par neuf sous le même nom. Le départ de C reste trois. Si Nora utilise immédiatement la case retirée pour inscrire C neuf, elle conserve encore C six en quatre. La recherche rencontre alors neuf en trois, mais deux cartes portent le nom qu'elle voulait seulement mettre à jour. Nora retient le numéro trois comme premier emplacement réutilisable, puis poursuit le balayage. Elle retrouve C en quatre et remplace six par neuf dans cette carte ; trois reste marquée retirée. La demande de mise à jour n'a ajouté aucune nouvelle identité.
Pour une véritable insertion de D neuf, également de départ trois, Nora effectue au contraire toute la recherche : trois est retirée, quatre contient C, puis vient la fin de la ligne sans D. Elle revient alors au premier emplacement réutilisable retenu, trois, et y place D neuf. C neuf reste en quatre. La fin du balayage n'était pas une nouvelle case cinq disponible : elle servait seulement à confirmer l'absence de D avant de réutiliser trois. Camille reçoit donc deux réponses distinctes avec la même valeur neuve, C mis à jour en quatre ou D ajouté en trois. Nora conserve le nom demandé jusqu'à la décision, plutôt que traiter la rencontre d'une marque retirée comme la preuve qu'aucune carte correspondante ne serait présente plus loin.
La préparation finale donne ses départs, son sens de balayage et ses états de case. Une réussite de placement n'affirme ni une distribution uniforme des destinations ni une garantie individuelle de petit décalage. Après un retrait, les cartes restantes doivent encore être retrouvées selon la convention conservée. Ces opérations de papier ne décrivent aucune performance d'équipement ou règle de circulation réelle.