Camille prépare un jeu de fiches pour une discussion après dîner. Une étiquette cachée vaut zéro ou un ; Nora reçoit une réponse produite selon une loi annoncée, sans regarder cette étiquette. Les fiches, les étiquettes et les tirages sont entièrement créés. Aucune préférence réelle, donnée personnelle, enquête ou pratique de protection n’est observée. Notre travail porte sur les inférences permises dans ce modèle, puis sur les résultats qu’une remise supplémentaire peut changer. Les lois de réponse aléatoire sont classiques, sans invention revendiquée.
Trois sites identifient des objets de papier. Leurs catégories ne fournissent aucune loi de réponse, estimation ou garantie pour notre jeu.
Mark+Fold présente des carnets.
mishmash présente des carnets.
OCTAEVO présente des vases de papier.
Une probabilité de réponse n’est pas la probabilité de son origine
Camille fixe d’abord une seule réponse : elle reproduit l’étiquette cachée avec une probabilité de trois quarts et donne l’autre valeur avec un quart. Si l’étiquette est un, la réponse un possède trois quarts ; si l’étiquette est zéro, elle possède un quart. Pour la réponse zéro, les deux probabilités sont inversées. Les choix de reproduire ou d’inverser sont indépendants des étiquettes. Nora connaît la loi, mais pas l’étiquette de la fiche considérée. Elle ne transforme pas une probabilité conditionnée par l’étiquette en constat de ce qui était caché.
Une remise porte un. Camille avait proposé d’écrire que l’étiquette un est alors certaine. Nora refuse : la réponse un reste possible depuis zéro, avec la probabilité un quart. L’annonce trois quarts pour l’origine ne serait pas davantage universelle. Si les deux étiquettes avaient chacune une moitié avant la réponse, la probabilité révisée de un serait trois quarts. Si un ne possédait initialement qu’un dixième, ses issues donnant un pèseraient trois quarantièmes, contre neuf quarantièmes venues de zéro ; sa probabilité révisée serait seulement un quart. Ce rappel de révision avec un poids initial ne sera pas compté comme une nouvelle méthode bayésienne ; ce sont les limites portant sur la loi des messages qu’il faut désormais fermer.
Nora compare les probabilités d’une même réponse sous les deux étiquettes. Pour un, leur rapport vaut trois ; pour zéro, il vaut un tiers. Ces deux rapports ne dépendent pas du poids initial. Si celui-ci donne à un une probabilité strictement comprise entre zéro et un, Nora peut écrire ses chances relatives sous la forme probabilité de un divisée par probabilité de zéro. Après la réponse, ces chances sont multipliées par trois ou par un tiers. La limite donnée est donc un facteur sur les chances relatives, dans les deux sens. Elle n’impose pas que la probabilité finale de un soit toujours au plus trois quarts : une étiquette déjà très probable peut le rester encore davantage.
Cette fermeture porte également sur une règle qui regroupe les réponses. Si Nora communique seulement « une réponse a été reçue », cet événement possède la probabilité un sous les deux étiquettes et leur rapport devient un. Pour une sortie binaire, tout regroupement des résultats est un des quatre ensembles : aucun résultat, zéro seul, un seul ou les deux. Les ensembles non vides ont les rapports un tiers, trois ou un. Nora ne crée donc pas une inférence plus forte en remplaçant la réponse par un commentaire calculé uniquement depuis elle. Le compte des essais et les tirages supplémentaires n’appartiennent cependant pas encore à cette petite liste de sorties autorisées.
Deux réponses nouvelles ne sont pas deux copies de la même
Camille demande maintenant deux réponses indépendantes pour la même étiquette cachée. Nora doit comparer la probabilité du relevé complet sous zéro et sous un. Deux réponses un ont une chance neuf seizièmes sous un, mais un seizième sous zéro ; leur rapport vaut neuf, et non trois. Avec des étiquettes initialement équiprobables, le relevé un–un donne à un une probabilité neuf dixièmes. La loi d’une seule réponse n’avait pas garanti ce facteur neuf. Camille retire donc le commentaire disant que chaque ligne respecte le facteur trois et que la remise entière le respecte forcément encore.
Pour m réponses indépendantes contenant k uns, la probabilité sous l’étiquette un vaut trois à la puissance k, divisé par quatre à la puissance m. Sous zéro, elle vaut trois à la puissance m moins k sur le même dénominateur. Le rapport devient trois à la puissance deux k moins m. Son plus grand facteur vaut trois à la puissance m, lorsque toutes les réponses valent un ; les zéros donnent le facteur inverse. Nora conserve le relevé entier dans ce calcul : un–zéro et zéro–un ont chacun un rapport un, sans favoriser une origine. Ils ne sont pas deux preuves positives que l’on pourrait multiplier parce qu’ils appartiennent tous deux à la même fiche.
Une proposition remplit deux lignes en recopiant une seule réponse déjà tirée. Les seuls relevés possibles sont zéro–zéro et un–un. Chacun possède la probabilité de la réponse originale, donc le facteur associé reste un tiers ou trois. Nora refuse neuf pour un–un dans cette proposition. Elle ne considère pas zéro–un comme un troisième relevé rare : il est impossible sous les deux étiquettes lorsque la copie est exacte. Camille conserve cette duplication comme représentation d’un seul message, tandis que les deux nouveaux tirages restent une autre procédure. Ajouter une ligne sur la feuille n’a pas ajouté l’observation indépendante utilisée par le produit de probabilités.
Retravailler une réponse et recommencer une réponse sont deux chaînes différentes
Dans une autre branche, Camille tire une première réponse avec la même loi trois quarts, puis soumet cette réponse à une seconde loi identique, en ne communiquant que le résultat final. Le second tirage reproduit donc la première réponse, pas directement l’étiquette cachée. Nora calcule la chance de conserver finalement cette étiquette : les deux étapes la conservent ensemble avec neuf seizièmes, ou l’inversent ensemble avec un seizième. La somme vaut cinq huitièmes. Les deux autres chemins produisent l’inversion finale, avec trois huitièmes. Le rapport d’une sortie un sous les deux origines vaut alors cinq tiers, inférieur au facteur trois de la première réponse.
Camille avait traité ces deux tirages comme le relevé un–un de la branche précédente et repris le facteur neuf. Nora retire ce calcul. Dans la chaîne actuelle, elle ne reçoit pas la première réponse ; les chemins passant par zéro ou un doivent être additionnés lorsqu’ils donnent la même sortie finale. Dans l’autre branche, elle recevait deux réponses séparément tirées depuis l’étiquette, et conservait leurs deux valeurs. La sortie finale seule compte moins d’information dans la chaîne actuelle, alors que communiquer deux réponses nouvelles en comptait davantage. Les mêmes probabilités locales trois quarts ne permettent pas de remplacer le graphe de dépendance et la liste des valeurs réellement remises.
Nora garde cinq tiers seulement tant que Camille transmet cette sortie finale seule. Si Camille y joint aussi la première réponse, la description de la remise change. La seconde réponse dépend de la première selon une loi qui ne consulte plus l’étiquette cachée ; pour un relevé donné, cette probabilité conditionnelle est la même sous les deux origines. Elle se simplifie donc dans leur rapport, qui retrouve celui de la première réponse, trois ou un tiers. La chaîne n’ajoute pas un nouveau facteur une fois la première valeur connue, mais la suppression de cette valeur dans la remise précédente avait réellement réduit le rapport accessible. Camille choisit le reçu final seul pour cette variante et conserve les valeurs intermédiaires dans une autre question distincte.
Communiquer le nombre d’essais révèle ce que le dernier résultat cache
Camille propose désormais de tirer de nouvelles réponses indépendantes depuis la même étiquette jusqu’à obtenir un. Nora reçoit ce dernier un. Sous les deux origines, une réponse un possède une chance positive à chaque essai, un quart ou trois quarts ; la fin arrive donc presque sûrement. Si la remise ne communique que la valeur finale, elle vaut un avec certitude sous les deux origines. Son rapport vaut un : ce dernier symbole ne favorise pas une étiquette. Cette procédure n’est pas une façon de récupérer gratuitement les anciennes garanties sur une réponse tirée une seule fois ; elle définit une autre sortie, devenue constante.
Une nouvelle remise y ajoute le nombre T d’essais exécutés. Si T vaut k, les k moins une premières réponses étaient zéro, puis la dernière un. Sous l’étiquette un, la probabilité est trois quarts fois un quart à la puissance k moins un. Sous zéro, elle vaut un quart fois trois quarts à la puissance k moins un. Leur rapport est trois à la puissance deux moins k. Un essai donne trois ; deux essais donnent un ; trois donnent un tiers ; quatre donnent un neuvième. Nora ne conserve donc pas le facteur maximal trois d’une réponse isolée pour cette remise complète. Le dernier symbole constant avait laissé de côté exactement les échecs que T permet maintenant de retrouver.
Camille veut ne communiquer qu’un drapeau « au moins trois essais », sans donner le nombre entier. Ce drapeau signifie que les deux premières réponses étaient zéro. Sa chance vaut un seizième sous un et neuf seizièmes sous zéro ; son rapport vaut un neuvième. Même ce renseignement réduit dépasse le facteur trois dans le sens inverse. Nora retire le drapeau de la variante qui voulait remettre uniquement le dernier un sans renseignement d’origine. Elle peut le conserver dans un autre protocole, mais doit alors utiliser le rapport réel de cet événement. L’information supplémentaire venait d’une observation effectivement choisie, pas d’une propriété supposée d’une durée physique.
Pour une borne de trois essais au maximum, Camille donne encore une autre remise : le nombre d’essais et la réponse finale, qui peut être zéro si les trois réponses ont toutes été zéro. Nora compte ce dernier relevé. Il possède une chance un soixante-quatrième sous un et vingt-sept soixante-quatrièmes sous zéro, donc un rapport un vingt-septième. Le plafond rend le nombre d’essais fini sur chaque réalisation ; il n’en fait pas une réponse unique de facteur trois. Camille choisit explicitement ce plafond lorsqu’elle veut limiter les tirages, puis conserve zéro comme résultat d’interruption au lieu de prétendre qu’un a été obtenu à la fin de chaque feuille.
Retrouver une proportion demande d’inverser la loi du message
Une préparation indépendante considère maintenant n étiquettes cachées. Dans ce modèle, chacune vaut un avec une probabilité θ, indépendamment des autres, et reçoit une réponse selon la loi initiale trois quarts. Le nombre θ est le paramètre à estimer, pas l’étiquette d’une fiche particulière. Une réponse vaut un avec une probabilité q égale à un quart plus θ sur deux. Nora observe la proportion de réponses un, nommée Q, puis remet deux Q moins un demi pour estimer θ. Le nouveau compte ne transforme pas les réponses aléatoires en réponses exactes : il inverse la relation entre leur probabilité et le paramètre de ce modèle de population.
La proportion Q possède une moyenne q. L’estimation remise a donc une moyenne θ. Sa variance vaut quatre q fois un moins q, divisée par n, soit trois quarts plus θ moins θ au carré, le tout divisé par n. Nora remet cette dispersion avec le modèle d’étiquettes indépendantes. Au paramètre un demi, q vaut un demi et la variance devient un sur n ; aux paramètres zéro ou un, elle devient trois quarts sur n. Aucune de ces variances ne donne un relevé individuel exact. La correction de la moyenne a également multiplié les écarts de Q par deux, donc leurs carrés par quatre.
Camille avait appelé Q directement « proportion des étiquettes un ». Nora lui présente le paramètre zéro : aucune étiquette ne vaut un dans ce modèle, mais les réponses un gardent leur probabilité un quart. Q n’a donc pas une moyenne zéro. Elle choisit l’estimation corrigée pour la question sur θ et garde Q comme proportion des messages reçus. Le changement ne retire aucune réponse un du relevé. Il change la quantité calculée depuis ce relevé en tenant compte de la loi annoncée. Les deux proportions ne deviennent pas interchangeables parce qu’elles tiennent dans une même colonne de nombres.
Une variante fixe plutôt exactement K étiquettes un parmi les n, avant leurs réponses, et ne tire plus leurs origines indépendamment avec le paramètre θ. Chaque étiquette reçoit encore son propre tirage de réponse indépendant. La moyenne de l’estimation corrigée reste K sur n. Mais chaque réponse possède une variance trois seizièmes, qu’elle provienne de zéro ou de un. La variance de l’estimation devient donc trois quarts sur n, pour toute proportion fixée. Nora retire de cette variante le terme supplémentaire θ fois un moins θ sur n, qui comptait dans l’autre modèle la variabilité des origines elles-mêmes. La loi des réponses est commune, mais le protocole qui a constitué les étiquettes a changé un élément du compte des écarts.
La formule corrigée peut donner un nombre extérieur à zéro–un sur une réalisation. Avec une seule étiquette fixée à zéro, elle donne moins un demi lorsque la réponse est zéro, ou trois demis lorsque la réponse est un. Les probabilités trois quarts et un quart rendent sa moyenne nulle. Camille impose maintenant que la remise soit ramenée à zéro si elle est négative et à un si elle dépasse un. Elle obtient zéro ou un avec les mêmes probabilités, donc une moyenne un quart. Nora accepte cette nouvelle forme de remise bornée si Camille la demande, mais retire l’annonce de moyenne exacte zéro. Le retour dans un intervalle autorisé a changé l’estimateur et sa moyenne ; il n’a pas simplement amélioré la présentation d’un résultat inchangé.
Rendre les origines moins distinguables peut retirer la possibilité d’estimer
Camille remplace enfin la probabilité de répondre comme l’étiquette par deux tiers. Une réponse un possède alors la probabilité un tiers plus θ sur trois. L’estimation inverse devient trois Q moins un. Le rapport entre les deux origines pour une réponse isolée tombe à deux, ou son inverse. Pour les origines tirées indépendamment, la variance de l’estimation vaut neuf q fois un moins q sur n, au plus neuf sur quatre n. Nora compare ce compte au plafond un sur n de la loi trois quarts. Le facteur d’origine plus petit et le bruit de l’estimation plus grand appartiennent ici à la même modification, pas à deux améliorations obtenues séparément avec l’ancienne remise.
À une moitié de probabilité de reproduire l’étiquette, les deux origines donnent exactement la même loi de réponse, zéro ou un équiprobables. La proportion q vaut un demi pour tout θ. Nora refuse une formule inverse qui diviserait par le coefficient devenu nul. Un relevé de messages ne peut départager deux valeurs de θ dont toutes les probabilités de relevés sont identiques. Camille garde cette loi si elle veut retirer entièrement la distinction entre origines dans ce jeu, mais abandonne alors la question d’estimer leur proportion à partir de ces seuls messages. Nora conserve cette impossibilité d’identification comme autre conséquence d’une loi précise, sans annoncer qu’un nombre de fiches simplement plus grand rétablirait l’information absente.
Dans la remise retenue, Camille conserve une seule réponse selon la loi trois quarts et communique seulement cette réponse. Nora garde le facteur trois sur les chances relatives, avec les poids initiaux nécessaires si elle veut calculer une probabilité d’origine. Les répétitions, la chaîne retravaillée, le compte des essais et les estimations de proportion restent dans leurs branches. Les objets de papier consultés n’ont établi aucun de ces rapports ; la feuille transmet exactement les messages et les règles dont les inférences ont été calculées.
Deux lois connues dans une même remise peuvent demander des poids différents
Une autre préparation reçoit deux étiquettes tirées indépendamment avec le même paramètre θ. La première répond avec une probabilité trois quarts de reproduire son étiquette ; la seconde avec deux tiers. Les tirages de réponse sont indépendants également. Nora reçoit leurs deux valeurs dans cet ordre, avec la loi attachée à chacune. Camille veut une estimation dont la moyenne demeure θ et dont la plus grande variance possible, lorsque θ parcourt zéro à un, soit la plus petite. La famille autorisée combine linéairement les deux estimations corrigées, avec des poids fixés avant les réponses, positifs ou nuls et totalisant un.
La première estimation corrigée vaut deux fois sa réponse moins un demi ; la seconde trois fois sa réponse moins un. Chacune possède une moyenne θ. Pour θ égal à un demi, leurs variances sont respectivement un et neuf quarts. Avec un poids w pour la première et un moins w pour la seconde, la variance à ce paramètre vaut w au carré plus neuf quarts fois le carré de un moins w. Elle se réécrit treize quarts fois le carré de w moins neuf treizièmes, puis neuf treizièmes. Toute combinaison autorisée possède donc une variance au moins neuf treizièmes à ce paramètre. Nora choisit les poids neuf treizièmes et quatre treizièmes, qui atteignent cette borne. Elle n’a pas pondéré les réponses parce que la première lui plaisait davantage dans le relevé ; les poids ont été déterminés depuis les deux lois avant leur remise.
Pour les autres valeurs de θ, les variances individuelles valent trois quarts plus θ fois un moins θ, puis deux plus θ fois un moins θ. Chacune est maximale à θ égal à un demi. Puisque les deux estimations sont indépendantes et que leurs poids sont fixés, la variance de toute combinaison suit les mêmes carrés de poids ; elle atteint également son maximum à ce paramètre. La borne précédente ferme donc le critère global, et la combinaison retenue possède une variance maximale neuf treizièmes. Camille avait proposé de réunir les deux réponses dans leur proportion Q, puis d’inverser la loi moyenne : douze cinquièmes fois Q moins sept dixièmes. Cette estimation est elle aussi de moyenne θ, mais elle correspond aux poids trois cinquièmes et deux cinquièmes des deux estimations corrigées. Sa variance maximale vaut dix-huit vingt-cinquièmes, supérieure de neuf trois cent vingt-cinquièmes à celle choisie. Nora retient donc la pondération déterminée pour le critère annoncé, sans déclarer la première estimation moyenne fausse.
La décision change une remise remplie. Lorsque la première réponse vaut un et la seconde zéro, les deux estimations corrigées valent trois demis et moins un. La combinaison retenue donne dix-neuf vingt-sixièmes. Si les réponses sont zéro puis un, elle donne sept vingt-sixièmes. Dans les deux cas, la proportion Q vaut pourtant un demi, et l’estimation fondée sur elle seule donne un demi. Nora conserve donc l’ordre et la loi des deux réponses dans la remise pondérée : le seul nombre d’uns ne permet pas de la reconstruire. Camille choisit cette représentation lorsqu’elle veut le plus petit plafond de variance démontré. Elle ne présente pas dix-neuf vingt-sixièmes comme nécessairement plus proche de θ pour cette réalisation particulière ; le critère ferme un risque moyen maximal, pas une comparaison d’erreurs dont le paramètre caché serait soudain connu.