Préparer une réserve avant de connaître la demande peut laisser des fiches inutilisées ou des demandes sans fiche. La quantité moyenne ne choisit pas à elle seule entre ces deux conséquences. Un relevé limité aux fiches effectivement remises peut également cacher combien de demandes sont restées après l'épuisement de la réserve. Nora et Camille vont construire un choix sur papier, puis examiner ce que leur relevé permet réellement de conserver lorsqu'elles changent le renseignement disponible.
Toutes les fiches, demandes, chances et pénalités sont stipulées. Les points comptés ne représentent ni euros, ni travail réel, ni besoin alimentaire. Aucun achat, service ou clientèle n'est observé. Une fiche reste une unité interchangeable, sans matière ou usage commercial attribué aux fournisseurs cités. Les calculs de coût attendu pour une réserve sont classiques ; ils ne prédisent ici aucune demande future réelle et ne fournissent pas une quantité recommandée pour un dîner.
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Pilot présente des stylos.
STAEDTLER présente des instruments d’écriture.
Ces pages situent les fournitures ; aucune règle de réserve ou prévision n'en est reprise.
Choisir avant que la demande soit donnée
Nora prépare une quantité entière q, avant de recevoir la demande D. Elle remet au maximum q fiches. Si D dépasse q, la différence est un manque ; si q dépasse D, la différence est un surplus conservé à la fin de la branche. Chaque fiche manquante coûte quatre points et chaque fiche en surplus un point. Les deux ne sont donc pas additionnés comme deux noms pour le même nombre : pour une demande donnée, l'un des écarts est nul. Nora ne peut pas ajouter une fiche après avoir vu D dans cette préparation.
Le premier modèle donne zéro demande avec une chance d'un dixième, une avec une moitié, deux avec trois dixièmes et trois avec un dixième. On peut représenter ces chances par vingt identités de même chance : deux portent zéro, dix portent un, six portent deux et deux portent trois. Une seule identité est choisie dans la réalisation. La quantité moyenne de demande vaut quatorze dixièmes, soit un et quatre dixièmes. Nora envisage une fiche en arrondissant cette moyenne à l'entier le plus proche, puis vérifie les conséquences avant de retenir ce choix.
Avec q égal à un, D égal à zéro laisse une fiche et coûte un point ; D égal à un ne donne ni manque ni surplus ; D égal à deux laisse une demande sans fiche et coûte quatre ; D égal à trois en laisse deux et coûte huit. Le coût attendu est un dixième de un, plus une moitié de zéro, trois dixièmes de quatre et un dixième de huit. Cela donne vingt et un dixièmes, soit deux et un dixième. Nora garde ce calcul avec les quatre sorties différentes, plutôt qu'une sortie imaginaire qui remettrait un et quatre dixièmes de fiche.
Avec deux fiches, les coûts pour D égal à zéro, un, deux ou trois sont respectivement deux, un, zéro et quatre. Leur moyenne avec les mêmes chances vaut deux dixièmes plus cinq dixièmes plus zéro plus quatre dixièmes, soit onze dixièmes. Préparer la deuxième fiche réduit donc le coût attendu de un point par rapport à la première proposition. Camille accepte q égal à deux pour le critère donné. La quantité retenue dépasse la moyenne de demande, mais elle n'a pas été choisie pour répondre à un arrondi différent de cette moyenne : les points du manque et du surplus ont été examinés.
Les deux autres quantités voisines ferment la comparaison. Sans fiche, chaque demande est manquante ; le coût attendu vaut quatre fois un et quatre dixièmes, soit vingt-huit cinquièmes. Avec trois fiches, aucun manque ne survient, mais les surplus coûtent trois, deux, un ou zéro, donnant trois dixièmes plus un plus trois dixièmes, soit huit cinquièmes. Deux fiches coûtent donc moins en moyenne que zéro, une ou trois. Toute quantité au-dessus de trois ajoute encore une fiche inutilisée pour chacune des demandes possibles : son coût monte d'un point par ajout. Le minimum parmi toutes les quantités entières non négatives est bien deux.
Dans une réalisation renseignée ensuite, D vaut trois. Les deux fiches retenues laissent un manque coûtant quatre points, tandis que trois fiches auraient donné zéro dans cette réalisation. Nora ne présente pas onze dixièmes comme le coût de ce résultat particulier. Elle conserve quatre sur la feuille de réalisation et onze dixièmes sur celle du choix avant demande. Nous laissons bref ce rappel : le travail suivant porte sur ce qui a fait choisir la deuxième fiche, puis sur les demandes que le relevé ne montre pas.
Examiner exactement l'effet d'une fiche supplémentaire
Nora compare une quantité q à q plus un, avant tout choix d'identité. Lorsque D est au plus q, la fiche supplémentaire ne sert pas ; elle ajoute un point de surplus. Lorsque D est au moins q plus un, elle sert et enlève quatre points de manque. Ces deux groupes couvrent toutes les demandes entières de notre modèle. Aucun cas intermédiaire ne demande une moitié de fiche. Nora peut ainsi calculer le changement de coût attendu sans faire passer la moyenne de D pour une demande qui serait effectivement reçue.
Elle appelle F(q) la chance que D soit au plus q. La chance du second groupe est un moins F(q). L'ajout coûte donc F(q) fois un et épargne quatre fois un moins F(q), soit cinq F(q) moins quatre. Il réduit le coût tant que F(q) reste inférieur à quatre cinquièmes et l'augmente quand cette chance dépasse quatre cinquièmes. Le seuil provient des deux pénalités un et quatre ; il n'a pas été fixé comme une proportion de clients observés qui devraient être servis.
Dans le premier modèle, F(0) vaut un dixième. Le passage de zéro à une fiche donne donc moins sept demis de point : vingt-huit cinquièmes descendent à vingt et un dixièmes. F(1) vaut six dixièmes ; passer de une à deux enlève un point. F(2) vaut neuf dixièmes ; passer de deux à trois ajoute une moitié. Nora retrouve ainsi le minimum deux à partir des effets successifs : le coût descend deux fois, puis monte. Les valeurs F(q) ne peuvent pas diminuer lorsque q augmente, parce que l'ensemble des demandes au plus q ne perd aucun de ses éléments.
Ce dernier ordre des ensembles ferme également la recherche au-delà des essais remplis. Une fois que cinq F(q) moins quatre est positif, les ajouts suivants ne peuvent pas redevenir favorables sous ces mêmes pénalités et cette même distribution. Si ce changement avait été nul, les deux quantités voisines auraient donné le même coût attendu et il aurait fallu conserver cette égalité. Dans notre premier modèle, les trois changements calculés sont strictement négatif, négatif puis positif. Camille peut donc retenir deux comme unique quantité minimum, sans appeler une simple première bonne valeur la seule solution.
La chance de ne manquer aucune fiche avec deux est F(2), neuf dixièmes. Préparer trois donnerait une chance de un, mais le coût attendu monterait de onze dixièmes à huit cinquièmes. Camille formule une demande différente dans une autre préparation : aucune demande du modèle ne doit manquer de fiche. Nora choisit alors trois, puisqu'une demande de trois reste possible, et retire le minimum de onze dixièmes de cette nouvelle fiche. La réserve garantissant l'absence de manque et celle minimisant les pénalités attendues ne sont pas la même dans les conditions données.
Donner le même poids au manque et au surplus change la quantité
Camille reprend la distribution initiale, mais stipule cette fois un point par fiche manquante et un par fiche inutilisée. Avec une fiche, les coûts selon D valent un, zéro, un et deux. Le coût attendu est un dixième plus trois dixièmes plus deux dixièmes, soit trois cinquièmes. Avec deux fiches, les coûts sont deux, un, zéro et un ; leur moyenne vaut huit dixièmes, soit quatre cinquièmes. La réserve d'une fiche devient donc préférable pour cette nouvelle convention, contrairement au choix de deux sous le manque à quatre points.
L'effet d'un ajout est désormais deux F(q) moins un. Il passe de moins huit dixièmes après q égal à zéro à plus deux dixièmes après q égal à un. Le minimum est une fiche. C'est aussi la médiane unique de la distribution donnée : les deux demandes centrales de la représentation à vingt identités portent un. Nora peut expliquer pourquoi cette valeur répond ici au coût symétrique. Elle ne la réemploie pas avec la pénalité de quatre sur le manque, qui avait donné un seuil de quatre cinquièmes, et non d'une moitié. Changer l'intitulé du résumé sans changer la pénalité n'aurait pas refait ce calcul.
Nora conserve donc deux accords chiffrés avant demande : deux fiches sous un point de surplus et quatre de manque ; une fiche sous un point de chaque côté. Les chances des demandes sont identiques dans les deux préparations. La différence ne vient pas d'une prochaine demande déjà révélée ni d'une nouvelle clientèle annoncée : elle vient de la valeur donnée à leurs écarts possibles. Chaque quantité est transmise avec ce qui est compté comme coûteux, au lieu d'attribuer les deux décisions contradictoires à une même règle restée inchangée.
Deux modèles de même moyenne peuvent demander deux réserves
Nous donnons un autre modèle de demande : deux identités portent zéro, treize portent un, aucune ne porte deux et cinq portent trois, sur vingt de même chance. La moyenne reste vingt-huit vingtièmes, soit sept cinquièmes ; les deux identités centrales portent encore un. La moyenne et la médiane sont donc les mêmes que dans le premier modèle. Camille revient à un point par surplus et quatre par manque. Nora ne garde toutefois pas deux fiches seulement parce que les deux résumés ont retrouvé leurs valeurs ; elle compare la chance des demandes au-delà de deux.
Avec deux fiches, le second modèle donne deux points sur les deux identités zéro, un sur les treize identités un, puis quatre sur les cinq identités trois. Le total est quatre plus treize plus vingt, soit trente-sept points sur vingt : trente-sept vingtièmes en moyenne. Avec trois fiches, les deux identités zéro coûtent trois chacune, les treize identités un deux chacune et les cinq dernières zéro. Cela donne six plus vingt-six, soit trente-deux sur vingt, ou huit cinquièmes. Trois coûte moins que deux dans ce modèle, à la différence du premier.
Le contrôle par ajout explique le changement. Dans le deuxième modèle, F(2) vaut quinze vingtièmes, soit trois quarts. Cinq fois cette chance moins quatre donne moins un quart : la troisième fiche fait encore baisser le coût attendu. Dans le premier, F(2) valait neuf dixièmes et la troisième ajoutait une moitié. Les deux moyennes de demande et les deux médianes n'ont pas conservé cette chance-là. Nora garde trois comme choix du deuxième modèle et deux comme choix du premier. Le seuil de quatre cinquièmes est inchangé, mais il rencontre des groupes de demandes différents.
Nora vérifie également zéro et une fiche dans ce deuxième modèle. Les coûts attendus sont vingt-huit cinquièmes et vingt et un dixièmes, comme dans le premier, puis trente-sept vingtièmes pour deux et huit cinquièmes pour trois. Toute fiche au-delà de trois serait inutilisée et ajouterait un point. Le minimum est donc trois parmi toutes les quantités autorisées. Ce contrôle ne complète pas artificiellement les chances d'une demande de deux : sa chance est donnée nulle dans cette branche. L'absence de cette valeur change justement la répartition du même total moyen.
Compter seulement les fiches remises peut cacher les demandes
Camille dispose ensuite d'un relevé établi avec une réserve d'une fiche. Le relevé inscrit seulement combien de fiches ont été remises pour chaque demande : zéro ou une. Il n'enregistre pas le nombre réclamé lorsque la réserve est insuffisante. Ce changement de renseignement appartient à une nouvelle préparation. Une remise d'une fiche signifie alors que D valait au moins un, sans distinguer une, deux ou trois. Aucun second observateur n'apporte ce nombre dans notre modèle de relevé.
Nora construit les deux listes complètes de vingt demandes déjà données. Pour la première, elle range deux zéros, dix uns, six deux et deux trois ; pour la seconde, deux zéros, treize uns et cinq trois. Après leur passage par la réserve d'une fiche, le relevé de chacune contient deux zéros suivis de dix-huit uns. La suite observée entière est identique, pas seulement sa moyenne. Pourtant, les demandes cachées conduiraient à choisir deux fiches dans un modèle et trois dans l'autre. Nora retire donc la promesse de retrouver le bon choix entre ces deux modèles à partir de ce seul relevé plafonné.
Une première lecture traitait les dix-huit remises d'une fiche comme dix-huit demandes d'une fiche. Elle aurait donné un modèle à deux zéros et dix-huit uns, sans demande supérieure à un. Une réserve d'une fiche y coûterait seulement un dixième en moyenne, pour les deux zéros laissant un surplus. Nora refuse cette reconstruction : dans chacun des deux modèles possibles, cette même réserve coûte vingt et un dixièmes, parce qu'elle laisse aussi des demandes sans fiche. Le relevé a fourni les remises, tandis que la reconstruction avait fabriqué l'absence de manque qu'il n'enregistrait pas.
Camille propose d'ajouter le total des fiches qui ont manqué sur les vingt demandes. Ce total ne suffirait encore pas à départager nos deux listes. Dans la première, les six demandes de deux laissent chacune un manque et les deux demandes de trois chacune deux : dix fiches manquent au total. Dans la seconde, cinq demandes de trois laissent chacune deux : dix également. Les deux nombres de fiches remises valent dix-huit, et leurs deux nombres manquants dix ; leurs demandes totales valent donc vingt-huit. Retrouver ce total et sa moyenne ne restitue pas la fréquence des grands manques dont dépend le choix de réserve.
Un renseignement supplémentaire plus précis est alors autorisé : le relevé indique, pour chaque demande, combien de fiches ont été réclamées au-delà de celle remise. Dans la première liste, il inscrit six manques de un et deux manques de deux ; dans la seconde, cinq manques de deux et aucun de un. Les demandes sans manque gardent leur zéro dans cette nouvelle colonne. Nora peut maintenant distinguer les deux listes construites et retrouver leurs valeurs D en ajoutant remise et manque à chaque ligne. Elle ne présente pas ces nouvelles colonnes comme ayant toujours été présentes dans le vieux relevé.
Dans cet exercice, les distributions possibles sont données exactement avec leurs vingt identités. Le nouveau relevé montre quelle information sépare leurs listes complètes ; il ne prouve pas qu'un petit échantillon réel suffirait à connaître une distribution future. Nora conserve cette limite et le vieux relevé plafonné. Elle n'augmente pas rétroactivement sa réserve initiale pour raconter des remises de deux là où une seule fiche avait été disponible. La décision de noter les demandes non satisfaites a changé l'observation autorisée, sans réparer les anciennes observations par une quantité imaginée.
Recevoir un renseignement avant de fixer la réserve
Une préparation différente revient au premier modèle seul, avec ses chances exactes, et autorise un signal avant le choix de q. Le signal indique sans erreur si D sera au moins deux ; il ne donne pas D exactement. Nora peut alors choisir une quantité selon sa réponse. Cette permission ne se déduit pas de l'ancien relevé plafonné : le signal est une donnée supplémentaire créée pour cette branche, disponible avant la constitution de la réserve. Les pénalités de surplus et de manque restent un et quatre.
Le signal non laisse zéro ou une demande. Leurs chances dans ce groupe sont un sixième et cinq sixièmes ; choisir une fiche y donne un sixième de point attendu, contre dix tiers en n'en préparant aucune. Le signal oui laisse deux ou trois demandes, de chances trois quarts et un quart. Préparer deux fiches y coûte un point attendu, pour le manque de la troisième sur un quart des cas ; en préparer trois coûte seulement trois quarts, pour la fiche restée sur les demandes de deux. Nora choisit donc une fiche après non et trois après oui. Le coût avant signal vaut un dixième pour les demandes zéro et trois dixièmes pour celles de deux, soit deux cinquièmes au total.
Ce renseignement a permis des choix que la réserve unique de deux n'effectuait pas : Nora réduit la quantité dans le groupe bas et l'augmente dans le groupe haut. Son coût attendu descend de onze dixièmes à quatre dixièmes, soit un gain de sept dixièmes. Si la permission de recevoir le signal ajoute une moitié de point dans chaque réalisation, le coût total attendu devient neuf dixièmes et elle retient cette préparation. Si elle ajoute quatre cinquièmes, le total devient douze dixièmes et Nora préfère la réserve de deux sans signal. Elle conserve le coût du renseignement avec celui des fiches, au lieu d'attribuer les quatre dixièmes gratuits au dispositif qui en consomme davantage.
Camille révèle le même signal seulement après que Nora a fixé deux fiches dans une autre réalisation. Le signal vaut oui et conserve deux ou trois comme demande possible, mais Nora ne peut plus transformer sa réserve en trois sous la permission initiale qui interdisait l'ajout après décision. Elle conserve les deux fiches, avec une issue sans manque sur D égal à deux et un manque sur D égal à trois. Le renseignement peut changer sa connaissance de l'issue sans produire les choix conditionnels qui avaient réduit le coût avant constitution. Nora ne lui attribue donc pas le gain de sept dixièmes de l'autre préparation, dont les quantités étaient encore modifiables lorsqu'il arrivait.
Choisir lorsqu'aucun des deux modèles n'est départagé
Camille choisit finalement de garder les deux modèles possibles, sans leur attribuer de chances respectives. Elle donne un critère nouveau : parmi les quantités entières, minimiser le plus grand coût attendu calculé dans l'un ou l'autre modèle. Ce critère ne tire pas une moyenne entre les modèles. Il retient, pour chaque réserve proposée, celui qui lui donnerait le coût attendu le plus élevé. La demande porte toujours sur les pénalités un pour le surplus et quatre pour le manque, qui restent identiques dans les deux modèles.
Sans fiche, le plus grand coût attendu vaut vingt-huit cinquièmes. Avec une, les deux coûts valent vingt et un dixièmes. Avec deux, onze dixièmes dans le premier modèle et trente-sept vingtièmes dans le second donnent un plus grand de trente-sept vingtièmes. Avec trois, les deux valent huit cinquièmes. Nora retient trois, puisque huit cinquièmes est inférieur à trente-sept vingtièmes, ainsi qu'aux deux premiers résultats. Au-delà de trois, ajouter une fiche inutile fait monter le coût d'un point dans chaque modèle et ne peut améliorer ce maximum.
Cette réserve de trois sacrifie un avantage si le premier modèle seul était certain : son coût y devient huit cinquièmes au lieu des onze dixièmes obtenus avec deux. En échange, elle abaisse le plus grand des deux coûts de trente-sept vingtièmes à huit cinquièmes lorsque les deux modèles restent possibles. Nora inscrit ce changement de critère avec la nouvelle quantité. Elle ne dit pas que le premier modèle aurait changé de minimum, et ne donne pas une chance d'une moitié à chaque modèle pour rendre leur moyenne disponible. Aucune telle chance n'a été autorisée dans la branche choisie.
Une réalisation avec D égal à zéro laisse trois fiches en surplus et coûte trois points. Deux fiches n'en auraient coûté que deux pour cette même réalisation. Le critère choisi ne promet donc pas de battre chaque autre quantité dans chaque issue ; il compare des coûts attendus sous les deux distributions permises. Camille garde le résultat de cette réalisation auprès de la réserve retenue, sans lui demander de ressembler à huit cinquièmes. Ce rappel reste séparé de la preuve du minimum, qui venait des quatre choix de quantité et de leurs deux évaluations complètes.
La réserve de ces fiches demeure un modèle sur papier. Nora a choisi la pénalité, conservé ce que le relevé observe et rempli le choix correspondant au renseignement disponible. Les fournitures citées ne reçoivent aucune de ces demandes ou de ces chances. Les décisions peuvent désormais être reprises avec leurs pertes, leurs observations et leurs deux modèles, sans transformer une remise plafonnée ou un résumé central en une prévision déjà acquise.