Nora prépare douze tickets fictifs pour le service. Camille reçoit plusieurs questions sur des portions de cette série. Elle peut choisir l'ordre de ses calculs, mais doit rendre chaque réponse sous le numéro de la question reçue. Aucun outil ni service réel n'est testé ; les lettres et les déplacements appartiennent à cette feuille de calcul.
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Ces catégories seules ont été lues. Aucun objet, image ou procédé réel ne fournit les tickets, les fenêtres ou les règles de compte.
La série, aux positions zéro à onze, porte a, b, a, c, b, a, d, c, a, b, d, d. Une portion garde ses deux extrémités incluses. La première question Q1 demande zéro à cinq, Q2 six à onze, Q3 deux à huit, Q4 zéro à deux, Q5 neuf à onze, Q6 trois à six. Nora demande pour chacune le nombre de lettres différentes, pas le nombre de positions. Les questions sont toutes reçues avant ce travail et la série reste fixe.
Un compte par lettre accompagne une seule portion active
Camille traite d'abord Q1. Les six positions portent trois a, deux b et un c. Sa table de fréquences conserve ces trois comptes et zéro pour d. Le nombre de lettres différentes est trois, tandis que le nombre total de tickets est six. Nora garde les deux résultats dans des colonnes séparées. Une lettre répétée occupe plusieurs positions mais ne donne qu'une seule identité dans la première question. La table sera attachée à la portion courante, de bornes zéro et cinq, et non à tous les tickets de la série une fois pour toutes.
Pour rejoindre Q3 sans refaire le compte sur une nouvelle copie, Camille retire les positions zéro et un, puis ajoute six, sept et huit. Le premier retrait enlève un a : trois devient deux, mais a demeure présent. Le second retire un b : deux devient un, sans disparition de b. Ajouter d à six lui donne son premier exemplaire ; le nombre de lettres différentes passe alors de trois à quatre. Ajouter c à sept et a à huit augmente seulement leurs comptes. Nora reçoit a trois, b un, c deux, d un, avec quatre identités dans la portion deux à huit.
Camille ne retire donc pas automatiquement une identité chaque fois qu'une position sort. Une disparition se produit seulement lorsque son ancien compte valait un. Inversement, ajouter une position ne crée une identité que si son ancien compte valait zéro. Nora inscrit le test avant le changement de fréquence : sur le premier a retiré, trois n'était pas un ; sur le d ajouté, zéro était bien zéro. Avec cette convention, les changements de la table suivent les tickets effectivement présents. La décision ne dépend pas de la réputation d'une lettre comme fréquente dans la série entière.
Une portion éloignée demande aussi des ajouts avant certains retraits
Camille part d'une portion contenant seulement la position zéro et veut atteindre neuf à onze. Si elle commence par avancer sa limite gauche neuf fois en retirant chaque ticket traversé, les positions un à huit ne figurent pas encore dans sa table. Les retirer créerait des fréquences négatives, même si la nouvelle limite gauche finit au bon endroit. Nora refuse cette manipulation. Camille agrandit d'abord la limite droite jusqu'à onze ; toutes les positions zéro à onze sont alors présentes. Elle peut ensuite retirer zéro à huit et garder seulement neuf, dix, onze.
La règle choisie pour toutes les transitions consiste à faire entrer les positions nécessaires avant de retirer celles qui sont devenues extérieures. Pour déplacer la gauche vers une position plus petite, Camille ajoute les tickets nouvellement atteints ; pour déplacer la droite vers une position plus grande, elle les ajoute également. Elle retire ensuite les tickets quittant la gauche, puis ceux quittant la droite. Les portions intermédiaires peuvent être plus larges que la demande finale, mais leurs tables restent celles des positions réellement conservées. Nora ne remet une réponse qu'après la fin des quatre mouvements, quand les deux bornes correspondent à la question.
Un ticket situé dans la partie provisoirement ajoutée puis retirée peut recevoir deux gestes dans cette transition. Nora les compte tous deux dans le travail préparatoire ; elle ne les transforme pas en deux occurrences dans la réponse finale. Pour aller de zéro seul à neuf-onze, onze ajouts étendent d'abord la droite, puis neuf retraits avancent la gauche. La portion finale contient trois tickets, b, d, d. Elle possède deux identités. Le passage par douze tickets n'a donné aucune permission de répondre avec toutes les identités rencontrées pendant la préparation.
Les réponses gardent leur numéro quand le calcul change d'ordre
Le traitement dans l'ordre Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 fait souvent repartir les deux limites dans des directions opposées. Nora autorise donc une préparation classique de questions hors ligne, appelée ici parcours de Mo. Elle partage les positions possibles de la limite gauche en blocs de trois : zéro-deux, trois-cinq, six-huit, neuf-onze. Elle classe les questions par bloc de leur limite gauche, puis par limite droite croissante dans un même bloc. Elle ne trie pas les tickets, et ne modifie aucune borne reçue.
Le premier bloc contient Q4, Q1 et Q3, dont les limites droites sont deux, cinq et huit. Le deuxième contient seulement Q6 ; le troisième Q2 ; le quatrième Q5. L'ordre de calcul devient donc Q4, Q1, Q3, Q6, Q2, Q5. Camille commence avec une fenêtre vide, gauche zéro et droite moins un. Elle ajoute les positions zéro, un, deux pour Q4 et remet deux identités, a et b. Ce premier résultat doit être écrit sous Q4. Le placer dans la première ligne de réponses au seul motif qu'il a été calculé en premier donnerait deux à Q1, qui en demandait trois.
Nora garde six emplacements de sortie nommés Q1 à Q6 dès la réception des questions. Chaque calcul remplit son emplacement, sans déplacer les autres. Après Q4, Camille agrandit vers Q1 puis Q3 ; leurs réponses trois et quatre rejoignent leurs numéros propres. Elle peut annoncer à la fin trois, quatre, quatre, deux, deux, quatre dans l'ordre des six questions initiales. La liste dans l'ordre de calcul serait deux, trois, quatre, quatre, quatre, deux : elle porte les mêmes résultats dans une autre disposition, qui n'est pas la remise autorisée. Les identifiants conservés rétablissent le lien entre les questions et leurs réponses.
Le travail se compte par mouvements, pas par vitesse observée
Depuis la fenêtre vide, Q4 exige trois ajouts. Rejoindre Q1 en exige trois autres, puis Q3 trois ajouts à droite et deux retraits à gauche. La préparation a donc coûté onze mouvements quand Q3 est remplie. Rejoindre Q6, trois à six, retire la position deux et les positions huit et sept : trois gestes de plus, total quatorze. Rejoindre Q2, six à onze, ajoute sept à onze puis retire trois à cinq : huit gestes, total vingt-deux. Q5 retire enfin six, sept, huit : trois gestes, total vingt-cinq.
Dans l'ordre initial, les six étapes portent au contraire le total cumulé à six, dix-huit, vingt-cinq, trente-trois, cinquante et un, soixante-deux. Nora peut contrôler chaque changement par les distances des limites : déplacer la gauche de zéro à six fait six retraits, déplacer la droite de cinq à onze six ajouts. Le premier passage Q1 vers Q2 consomme ainsi douze gestes, sans refaire les six comptes de la destination depuis zéro. Le total soixante-deux inclut la première construction de Q1. Camille compare donc deux préparations complètes depuis la même fenêtre vide, et non vingt-cinq à une portion différente de l'autre travail.
Nora choisit l'ordre à vingt-cinq pour cette feuille. Elle n'en fait pas un certificat du plus petit parcours possible parmi toutes les permutations des six questions, ni une promesse de durée sur un appareil. Le tri par blocs limite les variations d'une borne à l'intérieur d'un bloc tout en faisant avancer l'autre dans un ordre annoncé. Il procure ici une préparation réellement moins coûteuse selon les gestes comptés. Camille joint l'ordre et ses mouvements au choix, plutôt qu'une étiquette « plus rapide » qui ne dirait ni quelles opérations sont comparées ni à partir de quel état elles ont été comptées.
La même fréquence conserve des paires, pas seulement des identités
Nora ajoute une deuxième colonne : le nombre de paires de positions portant la même lettre, sans ordre entre les deux positions. Dans Q1, les trois a donnent trois paires, et les deux b une paire ; c seul n'en donne aucune. Le total est quatre. Nora refuse de remettre deux au motif que deux lettres sont répétées. Le nombre de lettres répétées et le nombre de paires de positions ne sont pas la même question. Les trois a ont les couples zéro-deux, zéro-cinq et deux-cinq, qui doivent tous rester présents dans ce deuxième compte.
Pour ajouter un ticket de lettre x dont l'ancien compte vaut f, Camille crée exactement f nouvelles paires : ce ticket peut être apparié avec chacun des f anciens, une seule fois. Après l'ajout, le compte de x devient f plus un. Pour retirer un ticket d'un compte f, elle détruit f moins un paires, celles qui l'associaient aux autres tickets encore présents. Nora garde ces deux quantités distinctes. Retirer f paires enlèverait aussi une prétendue paire du ticket avec lui-même, qui n'avait jamais fait partie de la commande. La fréquence suffit à ces changements même si la table ne garde pas une liste de tous les couples.
Le passage Q1 vers Q3 permet un contrôle rempli. Le retrait du premier a détruit deux paires : quatre devient deux. Le retrait d'un b en détruit une : deux devient un. L'ajout du premier d n'en crée aucune ; l'ajout du second c en crée une ; l'ajout d'un troisième a en crée deux. Le résultat revient à quatre. Les comptes finaux a trois, c deux, b un, d un donnent bien trois plus une. Nora conserve les étapes même si le total initial et final est identique. Leur égalité n'autorise pas à garder un état ancien : la paire de b a disparu et une paire de c l'a remplacée.
À l'inverse, Q2 possède quatre lettres différentes mais seulement trois paires, toutes issues des trois d. Q3 possède aussi quatre identités mais quatre paires. La table de fréquences distingue ces deux réponses ; le seul total d'identités ne le pourrait pas. Camille garde donc deux accumulateurs indépendants avec la même table, l'un modifié aux passages zéro-un, l'autre modifié de f ou f moins un à chaque entrée ou sortie. Nora ne cherche pas à calculer les paires depuis le nombre d'identités et la longueur : deux portions de même longueur peuvent distribuer leurs répétitions autrement.
Compter exactement deux apparitions ne croît pas à chaque ajout
Une troisième commande veut le nombre de lettres apparaissant exactement deux fois. Dans Q1, seul b convient : réponse un. a apparaît trois fois, donc ne convient pas ; c apparaît une fois. Lorsque le premier a sort pendant le passage vers Q3, son compte devient deux et a entre dans la sélection. La réponse passe à deux. Le retrait suivant de b lui donne un et le fait sortir : retour à un. La suppression d'un ticket a donc pu augmenter ou diminuer ce résultat, selon le compte quitté. Nora retire toute règle qui conserverait le sens d'une variation en se fondant seulement sur « ajouter » ou « enlever ».
L'ajout de c à la position sept fait passer son compte de un à deux : la réponse augmente d'un. L'ajout suivant d'a à huit fait passer a de deux à trois et la fait diminuer d'un. À la fin, seul c apparaît deux fois, comme seul b le faisait au départ. Camille garde encore un pour Q3, mais la lettre qui remplit la condition a changé. Pour mettre l'accumulateur à jour, elle retire d'abord la contribution de l'ancien compte si celui-ci valait deux, change la fréquence, puis ajoute celle du nouveau compte s'il vaut deux. Ce protocole traite de la même façon les deux sens de déplacement.
Q5 porte b, d, d : deux identités, une paire, une lettre apparaissant exactement deux fois. Q6 porte c, b, a, d : quatre identités, zéro paire, zéro lettre apparaissant exactement deux fois. Nora conserve ces trois colonnes sous les mêmes deux bornes, plutôt que de changer l'ordre de calcul pour chaque question de statistique. Chaque entrée ou sortie transmet la lettre au même tableau et à ses trois changements. Les formules sur les comptes sont différentes, mais les tickets pris et retirés sont ceux de la même fenêtre ; une colonne ne peut recevoir une frontière différente en restant présentée comme réponse à Q6.
Une table de fréquences ne répond pas à l'ordre intérieur
Camille veut ensuite savoir si la portion commence par a. Pour Q1, c'est vrai ; pour la portion réordonnée b, a, a, c, a, b, les mêmes fréquences seraient présentes et la réponse serait fausse. Nora refuse de tirer cette information de la table conservée. Elle doit regarder la lettre à la borne gauche dans la série originale ou garder une information d'ordre adaptée à cette nouvelle demande. Les changements de fréquences étaient suffisants pour les trois statistiques choisies, mais leur succès ne promettait pas de restituer chaque disposition intérieure depuis les quatre comptes seuls.
Cette limite n'empêche pas le tri des questions déjà retenues, car leurs réponses ne dépendent pas de l'ordre des gestes ayant construit la même fenêtre. Ajouter puis retirer des positions différentes conduit aux comptes exacts de son ensemble final. Pour une question sur les lettres voisines ou les premières apparitions, déplacer une borne nécessiterait une mise à jour qui conserve également leurs positions. Nora laisse cette extension hors des trois colonnes actuelles. Elle ne remplace pas le parcours par un tri intérieur de la série pour faire apparaître une réponse plus commode : le changement de préparation autorisé concernait uniquement l'ordre des questions.
Corriger la série oblige à corriger aussi la fenêtre présente
Une branche distincte revient à Q1 et change le b de la position quatre en a. Cette position appartient à la fenêtre zéro-cinq. Camille retire donc un b de son ancienne fréquence deux, puis ajoute un a à sa fréquence trois. Les nouveaux comptes sont a quatre, b un, c un. Le nombre d'identités reste trois. Les paires passent de quatre à six : retirer b détruit une paire et ajouter a en crée trois. La lettre apparaissant exactement deux fois disparaît, réponse zéro. Nora conserve ensemble ces trois effets ; l'absence de changement du nombre d'identités n'est pas une preuve que les autres colonnes restent valides.
Changer seulement la lettre écrite dans la série aurait laissé l'ancienne table a trois, b deux, c un. Les réponses suivantes repartiraient alors d'un état qui ne décrit plus la fenêtre actuellement annoncée. Camille doit aussi mettre à jour sa table si la position corrigée est présente ; si elle est extérieure, la table courante reste intacte et une future entrée utilisera la lettre nouvelle. Nora garde la position quatre et son ancienne lettre avant la correction, afin de savoir quel compte retirer. Elle n'enlève pas un a sous prétexte que la fiche porte déjà son nouveau nom au moment de refaire le dossier.
Le tri préparé concernait néanmoins une série fixe et des questions reçues ensemble. Si des réponses avaient déjà été remises avant cette correction, Nora ne peut les redéfinir silencieusement comme si elles portaient toutes sur la nouvelle série. Elle conserve une version initiale et une version corrigée, avec leurs demandes respectives. La mise à jour de la fenêtre présente donne un état cohérent pour la seconde ; elle ne constitue pas à elle seule un parcours ordonné de toutes les corrections intercalées dans les anciennes questions. Camille garde donc cette branche séparée de la préparation à vingt-cinq mouvements, dont aucune donnée n'avait changé pendant le calcul.
Les catégories citées n'apportent aucune règle de fenêtre ou de fréquence à ces opérations sur tickets.
Deux portions séparées donnent aussi des paires entre leurs tickets
Une dernière branche demande de garder séparément les tickets de Q4 et Q5. Nora veut maintenant les couples ayant une position dans la première portion et une dans la seconde, avec la même lettre. Les portions zéro-deux et neuf-onze sont disjointes. La nouvelle question ne compte ni les couples intérieurs à chacune ni toutes les paires de leur réunion. Camille conserve donc deux tables, chacune attachée à ses propres bornes, avant de comparer leurs lettres communes.
Q4 contient a deux fois et b une fois ; Q5 contient b une fois et d deux fois. Parmi les neuf couples possibles entre leurs trois positions respectives, seul le couple des b convient, aux positions un et neuf. Nora remet un. Les deux a de Q4 donnent une paire intérieure, et les deux d de Q5 une autre ; ils n'ont pourtant aucun partenaire de même lettre de l'autre côté. Additionner les deux comptes de paires intérieures aurait donc remis deux à cette nouvelle question, réponse fausse. Camille multiplie plutôt les deux fréquences d'une même lettre, puis additionne sur les lettres : deux fois zéro pour a, un fois un pour b, zéro fois deux pour d. Le compte respecte les deux côtés que chaque couple doit effectivement réunir.
Si Nora demande au contraire toutes les paires égales dans la réunion disjointe, Camille ajoute les deux paires intérieures et le couple transversal : elle remet trois. Les fréquences réunies a deux, b deux, d deux donnent elles aussi trois, une paire par lettre. Ce contrôle révèle le terme qui manquait à l'addition des deux anciens résultats : pour des fréquences f et g, les paires de f+g tickets se répartissent en celles des f premiers, celles des g autres et les f fois g couples traversant les deux groupes. Nora conserve un pour la question transversale et trois pour celle de réunion. Les mêmes six tickets ont produit deux résultats, parce que les couples admissibles diffèrent ; aucun ticket supplémentaire n'a été créé pour réparer une somme de statistiques reçue trop courte.