Camille inscrit quatre préparations abstraites sur une feuille. Une seule peut occuper la place de travail à un instant donné, chacune doit être entièrement réalisée, et toutes sont disponibles au départ. Les durées et les poids sont stipulés : ils ne mesurent ni un geste culinaire ni une urgence réelle. Nora cherche l'ordre dont les instants de fin, multipliés chacun par le poids donné, ont la plus petite somme. La commande ne demande pas seulement de finir le dernier travail tôt : les quatre doivent être comptés séparément.
Les références suivantes fournissent seulement leurs catégories textuelles. Aucune image n'est examinée et aucun procédé artistique ne fournit nos durées ou nos poids.
P1 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338290 : Prints.
P2 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338300 : Books.
P3 — https://www.metmuseum.org/art/collection/search/338310 : Books.
La préparation A dure trois unités et possède le poids deux ; B dure deux et pèse cinq ; C dure une et pèse un ; D dure deux et pèse quatre. Le début est zéro. Une préparation commencée doit d'abord rester entière et sans interruption. Le poids multiplie son instant de fin, pas sa durée seule. Nous ne donnons aucune interprétation de priorité médicale ou de conservation alimentaire à ces nombres. Une autre branche ajoutera des conditions de départ, puis changera explicitement la permission d'interrompre un travail.
Le total du dernier instant ne choisit pas l’ordre
Camille commence par A, B, C, D. Les quatre fins sont trois, cinq, six et huit. Leur somme pondérée vaut deux fois trois, cinq fois cinq, une fois six, puis quatre fois huit : six plus vingt-cinq plus six plus trente-deux, soit soixante-neuf. Toutes les préparations ont été effectuées et la dernière finit en huit. Nora conserve ce relevé complet comme première possibilité, mais elle ne confond pas huit avec le coût soixante-neuf demandé. La fin de B contribue vingt-cinq à elle seule ; terminer B plus tôt pourrait changer ce total sans changer la durée de la série entière.
En rangeant seulement les durées de la plus courte à la plus longue, Camille propose C, B, D, A. Les fins deviennent un, trois, cinq et huit, et le coût un plus quinze plus vingt plus seize vaut cinquante-deux. C finit très tôt, mais son poids un ne donne pas nécessairement à cette avance la valeur d'une avance de B, dont le poids est cinq. Le dernier instant reste huit. Nora garde la baisse de soixante-neuf à cinquante-deux comme réelle, tout en retirant la phrase qui annonçait que les préparations courtes d'abord minimiseraient automatiquement la somme pondérée. Cette règle ne tient pas compte de tous les nombres reçus.
La proposition qui met les plus grands poids d'abord donne B, D, A, C. Les fins sont deux, quatre, sept et huit. Le coût vaut dix plus seize plus quatorze plus huit, quarante-huit. La préparation A, de poids deux, a cette fois été placée avant C, de poids un ; elle coûte pourtant trois unités au lieu d'une. Nora peut tester leur inversion en gardant B et D inchangés. B, D, C, A donne les fins deux, quatre, cinq et huit, pour dix plus seize plus cinq plus seize, soit quarante-sept. La plus grande priorité numérique seule ne décidait donc pas ce dernier échange.
Le gain d'une unité dans cet échange est rempli. Dans B, D, A, C, avancer A lui évite une unité de retard, économisant deux sur sa contribution ; mais retarder C par les trois unités de A ajoute trois à la sienne. Mettre C avant A fait le choix inverse : on accepte deux supplémentaires pour A et l'on retire trois pour C. Le bilan diminue de un. Nora remet B, D, C, A à quarante-sept plutôt que B, D, A, C à quarante-huit. Les poids des deux dernières préparations ne sont pas changés pour justifier ce déplacement ; ce sont leurs durées reçues qui rendent leurs retards inégaux.
Un échange doit comparer le délai imposé à l’autre
Pour deux préparations i et j placées l'une après l'autre après un début déjà fixé t, Nora écrit leurs contributions dans les deux ordres. Avec i avant j, elles sont poids i fois t plus durée i, puis poids j fois t plus durée i plus durée j. Dans l'autre ordre, les termes communs se retirent : la différence du premier total moins le second vaut poids j fois durée i moins poids i fois durée j. La durée totale des deux est la même, donc les préparations situées après ce couple conservent exactement leurs fins. Le calcul compare un déplacement local sans leur inventer une avance supplémentaire.
Le premier ordre est au moins aussi bon lorsque durée i divisée par poids i ne dépasse pas durée j divisée par poids j. Les poids sont positifs dans notre branche, donc cette division conserve le sens de l'inégalité. Pour nos quatre préparations, les rapports sont trois demis pour A, deux cinquièmes pour B, un pour C, et un demi pour D. L'ordre croissant est B, D, C, A, celui qui venait de donner quarante-sept. La comparaison utilise des fractions exactes : deux cinquièmes est inférieur à un demi. Nora ne les arrondit pas à un même chiffre décimal avant de choisir la première place.
Elle peut également comparer B et D directement par produits entiers. Mettre B avant D impose aux deux contributions un croisement quatre fois deux, huit, contre cinq fois deux, dix, pour D avant B. Leur échange en faveur de B économise deux. Entre C et A, les produits étaient deux fois un et une fois trois, d'où l'économie de un déjà observée. Nora joint ces deux échanges concrets à l'ordre retenu. Elle n'annonce pas que toute permutation différente coûte exactement la somme de ces deux économies ; une permutation peut déplacer d'autres couples. Les comparaisons montrent pourquoi le bon ordre du couple dépend simultanément des deux durées et des deux poids.
Dans une série libre, un couple voisin placé dans le sens contraire des rapports peut être inversé sans augmenter le coût. En recommençant, on atteint l'ordre croissant. Ce raisonnement ferme le minimum de la série entière : le classement n'est pas simplement le meilleur des trois propositions essayées. Lorsque les rapports diffèrent strictement, l'inversion correspondante augmente strictement le coût. Nos quatre rapports sont distincts ; l'audit des vingt-quatre ordres retrouve B, D, C, A comme unique ordre à quarante-sept. La preuve par échanges indique pourquoi ce résultat n'a pas besoin d'être présumé à partir du seul premier succès numérique.
Les hypothèses qui rendaient ces échanges permis restent visibles. Toutes les préparations devaient être disponibles au départ et aucune ne devait attendre la fin d'une autre. Sans ces conditions, échanger un couple peut produire un ordre impossible, même lorsque la différence des contributions serait favorable. L'absence de temps mort dans cette première branche est également justifiée : avancer une série entièrement disponible ne retarde aucune fin et diminue les contributions positives. Nora n'en fait pas une règle universelle du travail. Les deux branches suivantes vont justement retirer ces permissions, puis lui demander une remise qui respecte leurs nouvelles données.
Une préparation peu pondérée peut ouvrir celle qui compte beaucoup
Une nouvelle feuille contient A, de durée quatre et de poids un ; B, de durée une et de poids cent ; C, de durée une et de poids deux. B ne peut commencer qu'après la fin de A. A et C sont disponibles à zéro. Camille souhaite choisir, parmi les préparations actuellement disponibles, le plus petit rapport durée sur poids. Elle prend donc C, dont le rapport vaut un demi, avant A, dont le rapport vaut quatre. La suite complète sera C, A, B. Elle respecte bien la condition de départ de B : Nora ne la refuse pas comme impossible, mais compare sa valeur à celle d'autres ordres autorisés.
Dans C, A, B, les fins sont un, cinq et six. Le coût est deux fois un, une fois cinq, puis cent fois six, soit six cent sept. En choisissant A d'abord, Nora peut exécuter A, B, C : les fins quatre, cinq et six donnent quatre plus cinq cents plus douze, cinq cent seize. C est retardée de cinq unités, ce qui ajoute dix à sa contribution par rapport à sa fin un ; mais B gagne une unité, retirant cent, et A gagne aussi une unité. Le changement total est une baisse de quatre-vingt-onze. Le petit rapport de C ne suffisait pas à rendre cette première décision globalement favorable.
La raison nouvelle est l'ouverture de B. Lorsque A finit, une préparation à poids cent devient disponible ; elle était absente du menu initial. L'échange de C et A ne conserve donc pas simplement un suffixe fixe dont toutes les fins resteraient inchangées. Il change le moment où B peut entrer dans la préparation choisie. Nora retire la règle « meilleur rapport parmi les disponibles » de cette branche, tout en conservant sa preuve pour les séries libres. Le défaut vient d'une condition effectivement ajoutée, pas d'une erreur dans le rapport un demi ni d'un besoin de réduire le poids de C après son mauvais choix.
Les trois ordres autorisés sont A, B, C ; A, C, B ; C, A, B. Les trois autres placeraient B avant A et restent hors menu. A, C, B donne les fins quatre, cinq et six, mais associe le poids cent à la dernière fin : son coût est quatre plus dix plus six cents, six cent quatorze. Nora peut donc remettre A, B, C comme minimum cinq cent seize après ce contrôle complet. Elle ne compare pas cet ordre à B, C, A pour gagner un chiffre plus petit : B au début violerait précisément la donnée qui a changé notre commande. L'audit ferme ici les trois ordres permis avec leurs poids correctement associés.
Une disponibilité tardive peut rendre utile une attente choisie
La troisième feuille contient seulement A et B. A demande dix unités, pèse un et peut commencer à zéro. B demande une unité, pèse cent et n'est disponible qu'à l'instant un. Nous gardons d'abord l'interdiction d'interrompre une préparation commencée. Camille décide de ne jamais laisser libre la place quand un travail peut commencer. Elle lance A à zéro, le finit en dix, puis effectue B de dix à onze. Le coût est dix plus onze cents, mille cent dix. La décision n'a manqué aucune disponibilité : elle a justement commencé le seul travail disponible à zéro.
Nora choisit pourtant de laisser la place vide de zéro à un. Elle effectue B de un à deux, puis A de deux à douze. Le coût est deux cents plus douze, deux cent douze. L'attente d'une unité retarde A de deux unités au total par rapport à la première série, mais avance B de neuf ; sa contribution baisse de neuf cents. Nora remet cette attente choisie sous la permission reçue de différer un début. Elle ne donne pas rétroactivement à B une disponibilité zéro, ni ne raccourcit A pour le faire entrer dans l'unité vide. La baisse vient du choix de ne pas commencer un travail qui bloquerait la prochaine arrivée.
Avec deux travaux entiers et sans interruption, ces deux ordres ferment aussi le minimum. Si A précède B, commencer A après zéro ne peut réduire aucune fin ; la meilleure série de cet ordre commence donc immédiatement et coûte mille cent dix. Si B précède A, B doit attendre au moins un et finit au plus tôt deux ; A finit ensuite au plus tôt douze. Retarder l'un ou l'autre ne réduit pas les contributions positives. Le meilleur ordre B puis A coûte donc deux cent douze et atteint ses deux bornes de fin. Nora n'attribue pas ce minimum à un essai d'attente arbitrairement favorable : chaque ordre possible possède son début le plus tôt autorisé.
Camille compare parfois des temps écoulés depuis la disponibilité plutôt que depuis zéro. Cette autre écriture donnerait ici dix pour A et dix pour B dans la première série, puis douze pour A et un pour B dans la seconde. Les coûts pondérés seraient mille dix et cent douze. Ils retirent tous deux la même constante, le poids cent multiplié par la disponibilité un de B. Leur ordre de préférence reste donc identique dans cette feuille donnée. Nora ne transforme pas ces nouveaux chiffres en gains supplémentaires ; elle garde soit les fins absolues, soit ces durées écoulées avec leur origine, sans additionner les deux conventions.
Interrompre A change encore la préparation permise
Une dernière permission autorise à interrompre A puis à reprendre exactement le travail restant, sans coût supplémentaire de reprise. Les données de durée dix, poids un et disponibilité zéro ne changent pas. Nora commence A de zéro à un, le suspend lorsqu'arrive B, effectue B de un à deux, puis reprend les neuf unités restantes de A de deux à onze. B finit en deux et A en onze ; le coût est deux cents plus onze, deux cent onze. Cette trace économise une unité sur la remise précédente à deux cent douze, parce que l'unité autrefois laissée vide a désormais accompli une partie de A.
Camille avait écrit « reprendre A pour dix unités » après B, donnant une fin douze. Nora retire cette ligne : elle compterait deux fois la première unité effectivement exécutée avant l'interruption. La permission de reprise conserve le travail réalisé, tout en imposant de terminer les neuf unités restantes. Inversement, annoncer la fin dix de A ferait oublier l'unité occupée par B. La trace retenue montre donc les trois plages zéro–un, un–deux et deux–onze, avec leur affectation propre. Le onze n'est pas la fin de la série ancienne à laquelle on aurait seulement ajouté une légende d'interruption ; il résulte d'une autre distribution du travail sur la même place.
Nora ferme le minimum de cette branche par les fins nécessaires. Si B finit avant A, sa disponibilité un et sa durée une imposent une fin au moins deux. Avant la fin de A, les onze unités de travail de A et de B doivent avoir occupé la place unique ; A ne peut donc finir avant onze. Le coût est au moins deux cents plus onze, et notre trace l'atteint. Si A finit avant B, A ne peut finir avant dix et B ne peut finir avant onze, car les onze unités doivent alors être accomplies avant sa fin. Le coût est au moins mille cent dix. Même en permettant plusieurs interruptions, ce second ordre de fins ne pourrait dépasser favorablement la trace à deux cent onze.
Ce dernier contrôle n'utilise pas un simple classement initial des rapports parmi les travaux disponibles. Il compare les deux ordres possibles des fins avec la disponibilité tardive et la conservation du travail effectué. Nora remet la trace interrompue lorsque cette permission nouvelle est donnée ; elle garde l'attente de zéro à un dans la branche sans interruption. Les résultats deux cent douze et deux cent onze ne sont pas deux estimations concurrentes du même horaire autorisé. L'un respecte deux travaux entiers successifs, l'autre utilise une suspension nommée qui conserve neuf unités à reprendre. La fiche joint donc le coût à la permission exacte qui permet son exécution.
Les notices restent des références de catégorie ; aucune image ou méthode artistique ne fournit ces horaires. Le choix porte sur les contributions de fins reçues, les conditions de départ et le travail conservé, sans transformer un ordre abstrait favorable en consigne pour un service réel.