Nora prépare deux couleurs de jetons pour une activité entièrement créée. Elle veut comparer une réserve qui se transforme après chaque résultat à une suite dont les chances restent fixes. Paul observe que le premier passage offre une chance égale à chaque couleur et propose d'utiliser une pièce équitable pour tous les passages. Cette substitution conserve le premier résultat possible, mais pourrait changer la chance d'obtenir deux couleurs, l'attente d'un premier bleu ou les informations qu'un relevé terminé fournit sur le passage suivant.
Tous les jetons, les passages et les probabilités sont stipulés. Au départ, l'urne contient un rouge et un bleu. À chaque passage, un jeton est choisi uniformément parmi ceux présents. Il revient dans l'urne, accompagné d'un nouveau jeton de sa couleur. Chaque choix utilise un tirage propre au passage ; ses chances sont déterminées par le contenu actuel. Aucune urne matérielle n'est testée, aucun temps en minutes n'est donné. Le nombre de jetons augmente exactement d'une unité à chaque passage.
Les sources attestent seulement des catégories de jouets. Les tirages et le renforcement sont définis ici ; aucune règle commerciale, propriété matérielle ou promesse éducative des marques n’est reprise.
Vilac : jeux.
Lilliputiens : jouets.
BAJO : jouets.
Deux chances initiales égales ne donnent pas deux choix indépendants
Si le premier jeton est rouge, l'urne reçoit deux rouges pour un bleu. Le deuxième passage devient rouge avec deux tiers, bleu avec un tiers. Si le premier est bleu, ces deux chances sont inversées. Le premier résultat rouge a une chance une moitié ; la suite rouge puis rouge a donc une chance un tiers. Rouge puis bleu a une chance un sixième. Nora refuse les quatre suites de deux couleurs équiprobables que Paul avait inscrites : les probabilités du second passage ont reçu une information du premier, même si chaque choix conserve son tirage propre.
Les quatre suites sont rouge rouge et bleu bleu à un tiers chacune, rouge bleu et bleu rouge à un sixième chacune. Chacune des positions prise seule demeure pourtant rouge avec une moitié : au deuxième passage, un tiers plus un sixième donne cette moitié. Nora choisit le protocole à chances fixes si sa demande porte sur deux couleurs différentes avec une chance une moitié. Celui-ci donne rouge bleu et bleu rouge à un quart chacune. L'urne renforcée ne donne ensemble qu'un tiers à ces deux suites. L'égalité des chances à chaque position n'a donc pas conservé cette demande sur leur relation.
Elle garde également les probabilités conditionnelles auprès des chances isolées. Après avoir vu rouge, annoncer encore une moitié pour le prochain rouge oublierait le jeton ajouté. Après avoir vu bleu, annoncer une moitié commettrait la même omission dans l'autre sens. Nora remet deux feuilles : un relevé sans information sur le premier résultat, et un relevé qui le donne. La chance une moitié appartient à la première ; deux tiers ou un tiers appartient à la seconde. Ce ne sont pas deux calculs incompatibles de la même question, mais des réponses à deux informations disponibles.
Réordonner une histoire conserve son poids, mais compter seulement ses couleurs ne conserve pas tous les ordres
Nora examine quatre passages avec deux rouges et deux bleus. Pour rouge rouge bleu bleu, le produit vaut une moitié, puis deux tiers, puis un quart, puis deux cinquièmes : un trentième. Pour rouge bleu rouge bleu, il vaut une moitié, puis un tiers, puis une moitié, puis deux cinquièmes : encore un trentième. Les deux histoires n'ont pas traversé les mêmes contenus intermédiaires, mais leur nombre final de chaque couleur est identique. Paul peut les permuter sans changer leur chance sous la règle présente ; il ne peut pas remplacer ces chances par un seizième en invoquant quatre choix binaires.
Dans une histoire de n passages contenant k rouges, les facteurs rouges successifs ont au numérateur un, deux, jusqu'à k. Les facteurs bleus ont un, deux, jusqu'à n moins k. Les dénominateurs sont deux, trois, jusqu'à n plus un, quels que soient les moments où les couleurs apparaissent. Le poids de chaque ordre est ainsi k factorielle fois n moins k factorielle, divisé par n plus un factorielle. Nora justifie la permission de réordonner par ce produit complet. Elle conserve dans le relevé les passages successifs pour reconstruire l'activité, mais leur ordre n'est pas nécessaire pour calculer le poids d'une histoire terminée.
Il existe n parmi k placements des rouges parmi les n positions. En multipliant leur nombre par le poids de chacun, les deux factorielles de couleurs s'annulent : la chance d'avoir k rouges devient un sur n plus un. Les n plus un comptes possibles, de zéro à n, sont équiprobables. Pour quatre passages, les comptes zéro, un, deux, trois et quatre valent chacun un cinquième. Ce résultat concerne les comptes, pas les seize histoires elles-mêmes : l'histoire tout rouge pèse un cinquième, tandis que chacun des six ordres à deux rouges ne pèse qu'un trentième.
Nora souhaite deux rouges et deux bleus en quatre passages. Avec une pièce équitable utilisée indépendamment, six histoires parmi seize réussissent, soit trois huitièmes. Avec l'urne renforcée, les six mêmes ordres totalisent un cinquième. Elle retient la pièce pour cette demande précise, puis conserve les deux comptes extrêmes : tout rouge ou tout bleu totalise deux cinquièmes dans l'urne, contre un huitième avec la pièce. Le protocole favorable au compte équilibré ne l'est donc pas à cette autre demande. Elle change effectivement le dispositif stipulé suivant l'événement choisi, sans annoncer une supériorité générale du hasard à chances fixes.
Le compte seul ne devient pas une suite de couleurs indépendante. Après quatre passages, une histoire tout rouge possède une chance un cinquième, soit bien plus qu'un seizième. À l'inverse, les six histoires équilibrées se partagent seulement un cinquième. Paul ne peut sélectionner uniformément l'une des seize histoires puis prétendre avoir simulé l'urne. Nora conserve la liste des comptes et le nombre d'ordres par compte auprès de leurs poids. Le droit de permuter une histoire ne lui a pas donné le droit d'égaliser des histoires dont les comptes sont différents.
Le contenu reçu décide des prochains passages, pas seulement du dernier jeton
Après trois passages, Nora peut avoir reçu rouge rouge bleu ou rouge bleu rouge. Les deux relevés conduisent à trois rouges et deux bleus dans l'urne : les deux initiaux restent, deux rouges et un bleu ont été ajoutés. La chance du prochain rouge vaut donc trois cinquièmes. Le dernier résultat était différent entre les deux relevés, mais il ne décide pas seul des chances actuelles. Nora remet le compte de couleurs plutôt que seulement le dernier signe lorsqu'elle demande une prévision du passage suivant.
Après deux rouges successifs, elle dispose de trois rouges et un bleu. Paul voudrait annoncer pour les trois passages suivants trois bleus avec une chance un quart au cube, soit un soixante-quatrième. Nora continue au contraire les changements d'urne. Le premier bleu a un quart ; une fois reçu, le prochain a deux cinquièmes ; le troisième a une moitié. Leur produit vaut un vingtième. Geler le contenu trois rouges et un bleu pour les trois passages aurait décrit une autre règle. Nora conserve le vingtième auprès de la remise effective, avec les deux jetons bleus supplémentaires qui ont modifié les deux chances suivantes.
Elle pourrait ouvrir une branche sans renforcement après les deux premiers rouges : remettre les jetons tirés sans en ajouter. Dans ce cas nouveau, le quart resterait effectivement disponible aux trois passages et le produit un soixante-quatrième conviendrait. Nora ne donne pas ce résultat à la branche où chaque bleu reçu ajoute toujours un bleu. La décision exige une consigne portant sur les passages futurs, pas un simple changement de multiplication. Le contenu au moment de cette consigne reste trois rouges et un bleu dans les deux branches ; c'est son évolution ultérieure qui distingue les remises.
La part rouge garde sa moyenne sans se concentrer nécessairement autour d’elle
Dans une urne contenant r rouges et b bleus, Nora note la part rouge r divisée par r plus b. Au prochain passage, cette part devient r plus un sur r plus b plus un si rouge paraît, et r sur le même dénominateur si bleu paraît. Les chances de ces deux cas sont r sur r plus b et b sur r plus b. Leur moyenne pondérée redonne exactement l'ancienne part rouge. Nora conserve cette identité conditionnelle : à partir d'un contenu connu, la part moyenne du prochain contenu reste celle de maintenant. Elle n'en fait pas l'annonce que la part reçue dans chaque histoire restera inchangée.
Depuis un rouge et un bleu, la part moyenne reste donc une moitié à chaque nombre de passages. Mais le compte rouge après n passages est uniforme de zéro à n. Sa moyenne vaut n sur deux, et sa variance n fois n plus deux sur douze. La part dans l'urne est un plus ce compte, divisé par n plus deux. Sa variance vaut donc n sur douze fois n plus deux. Pour un passage, elle vaut un trente-sixième ; pour quatre, un dix-huitième. Ces valeurs augmentent, au lieu de diminuer vers zéro : leur limite vaut un douzième. Nora garde cette dispersion auprès de la moyenne constante.
Paul propose de prolonger les passages pour rendre presque certaine une urne composée pour moitié de chaque couleur. Nora refuse cette conséquence. Le renforcement ne ramène pas le compte vers sa moyenne : il rend toutes les valeurs possibles du compte équiprobables. À quatre passages, la part rouge est un sixième, deux sixièmes, trois sixièmes, quatre sixièmes ou cinq sixièmes, chaque valeur avec un cinquième. Passer à davantage de jetons multiplie les parts possibles sans concentrer leur poids sur une moitié. Elle ne remet donc pas le nombre moyen comme une composition promise lorsque sa demande exige un contenu presque équilibré.
Pour des signes indépendants de chance rouge une moitié, le compte suit au contraire les poids binomiaux. La fraction de rouges parmi les n signes a une variance un sur quatre n. Nora précise que ce n'est pas exactement la même variable que la part dans l'urne renforcée, laquelle comprend les deux jetons initiaux. Pour comparer une dispersion de comptes reçus, elle utilise dans les deux cas le compte divisé par n. L'urne lui donne une variance n plus deux sur douze n, qui tend encore vers un douzième ; la pièce donne un sur quatre n, qui tend vers zéro. Ajouter des passages n'a pas la même conséquence sur cette demande de concentration.
Le premier bleu arrive presque sûrement sans posséder une attente moyenne finie
Nora revient au départ avec un rouge et un bleu et arrête les passages dès le premier bleu reçu. Pour n passages tous rouges, le produit des chances vaut une moitié, deux tiers, trois quarts, jusqu'à n sur n plus un. Tous les facteurs se simplifient : il reste un sur n plus un. C'est la chance de n'avoir toujours pas reçu bleu après n passages. Elle tend vers zéro. Nora peut donc annoncer que l'arrêt survient après un nombre fini de passages avec une chance un, sans donner un nombre commun de passages qui aurait déjà terminé chaque histoire.
Paul propose deux passages en moyenne, comme pour le premier bleu d'une pièce équitable. Nora calcule l'attente de sa règle présente en additionnant les chances de dépasser zéro, un, deux et les nombres suivants de passages. Elle obtient un, une moitié, un tiers, un quart et toute la série harmonique. Sa somme est infinie. Chaque attente tronquée à un nombre N de passages possède déjà la somme des N premiers termes, qui grandit sans limite ; l'attente complète ne peut être plus petite que ces tronquées. L'arrêt presque sûr n'a donc pas fourni l'attente moyenne deux, ni aucune autre valeur moyenne finie.
Une demande porte sur une chance d'au moins neuf dixièmes d'avoir reçu bleu avant la limite. La chance d'avoir terminé au plus tard à n vaut un moins un sur n plus un. À huit, elle donne huit neuvièmes, inférieur à neuf dixièmes ; à neuf, elle donne neuf dixièmes. Nora remet neuf comme première limite entière qui remplit cette demande. Elle garde les chances de continuer après neuf, une dixième, et la moyenne infinie dans deux informations différentes. La limite choisie est une garantie de proportion, pas l'événement certain ni la valeur moyenne des histoires.
Cette attente dépend du contenu qui suit les rouges reçus. Après chaque rouge sans bleu, le bleu initial reste seul tandis que les rouges augmentent ; le prochain bleu devient moins probable. Nora peut choisir une règle à chances fixes si elle demande une attente moyenne finie de deux depuis le départ. Elle ne peut conserver l'ajout de rouges puis insérer artificiellement une chance une moitié à chaque ligne du calcul. Les mêmes couleurs présentes au départ ont permis les deux règles, mais les comptes conservés pendant l'activité ont changé leur attente effective.
Deux mécanismes différents peuvent donner exactement les mêmes relevés de couleurs
Nora prépare un dernier modèle sans urne renforcée. Avant les passages, un paramètre p est choisi uniformément entre zéro et un. Il reste fixé pour toute l'histoire. Les passages sont ensuite indépendants avec une chance rouge p, conditionnellement à ce paramètre. Le relevé remis à Paul contient les couleurs seulement, pas p. Ce choix continu et ces chances sont des données de la branche créée ; aucun goût individuel, préférence de personne ni variable mesurée n'est affirmé. La question est de comparer les lois des relevés, non de reconnaître un mécanisme réel par son apparence.
Pour une histoire portant k rouges et n moins k bleus, sa chance à p fixé vaut p puissance k fois un moins p puissance n moins k. En faisant la moyenne sur le paramètre uniforme, l'intégrale de ce produit entre zéro et un vaut k factorielle fois n moins k factorielle, divisé par n plus un factorielle. C'est exactement le poids trouvé pour l'urne renforcée. Nora peut obtenir cette intégrale en développant la puissance de un moins p puis en intégrant chaque puissance de p ; la comparaison porte sur chaque histoire ordonnée entière, pas seulement sur la chance rouge du premier passage.
Ainsi les quatre relevés de deux couleurs, les seize de quatre, et toute autre longueur finie possèdent les mêmes chances dans ces deux modèles. Dans la branche à paramètre, les passages sont indépendants quand p est connu ; ils ne le sont pas dans le relevé où ce paramètre reste caché. Voir un rouge rend davantage de poids aux valeurs élevées de p, et la prévision du prochain rouge devient deux tiers. Nora refuse de déduire du relevé seul que chaque jeton rouge a nécessairement changé un contenu matériel. Le modèle à paramètre fixe reproduit la même information observable sur les couleurs sans ce changement.
Après deux rouges, la chance de trois bleus suivants vaut également un vingtième dans la branche à paramètre caché. Il faut faire la moyenne du produit sur les valeurs de p encore compatibles et pondérées par les deux rouges, pas mettre au cube la seule moyenne une quatrième de bleu. Nora garde ce cas comme conséquence de l'égalité des lois entières : le produit de chances conditionnelles futures reste celui de l'urne. Le paramètre constant et le contenu renforcé n'ont pourtant pas la même signification. Aucun relevé de couleurs fini ne départage ici leurs deux descriptions à lui seul.
Une intervention doit dire ce qu’elle remet à zéro
Nora autorise maintenant une intervention dans l'urne : après chaque passage, elle retire les ajouts et remet exactement un rouge et un bleu pour le suivant. Les nouveaux tirages sont propres à chaque passage. Rouge puis rouge a alors une chance un quart, et les quatre suites de deux couleurs sont équiprobables. Ce n'est plus la règle renforcée précédente, où rouge rouge pesait un tiers. Elle choisit cette remise à zéro si elle veut le résultat indépendant de chance rouge une moitié ; ses relevés anciens restent attachés à l'urne où aucun ajout n'était retiré.
Dans la branche à paramètre caché, Nora stipule une autre intervention : remettre les accessoires visibles en place après chaque passage, mais conserver le même p choisi au début. La loi des couleurs ne change pas et rouge rouge possède encore une chance un tiers. Remettre une urne visible à un rouge et un bleu n'identifie pas une opération sur un paramètre de la branche abstraite où les chances sont données directement par p. Nora refuse donc le mot seul « réinitialiser » comme description commune. Elle indique ce qui change dans chaque mécanisme, puis calcule ce que cette opération autorise réellement.
Elle pourrait aussi tirer un nouveau paramètre uniforme avant chacun des deux passages, indépendamment des paramètres précédents. Chacun donne alors rouge avec une moitié, et rouge rouge revient à un quart. Cette nouvelle intervention modifie précisément ce que la précédente conservait : le paramètre ne traverse plus les passages. Nora remet le quart avec cette consigne effective, sans annoncer que les modèles d'origine seraient devenus identiques dans leurs mécanismes. Ils avaient la même loi observable sans intervention ; des opérations différentes ont pu conserver ou rompre cette égalité selon les éléments changés.
La remise finale nomme les comptes, l'évolution autorisée et l'information réellement fournie. Des chances initiales égales n'ont pas garanti des passages indépendants ; une part moyenne conservée n'a pas annoncé une composition concentrée. Une fin presque sûre a coexisté avec une attente moyenne infinie. Nora choisit chaque règle pour la demande calculée, puis garde les relevés anciens sous leur permission initiale. Ses jetons et paramètres ne décrivent aucun jeu commercial essayé : ils ferment seulement les conséquences des mécanismes stipulés sur la feuille.