La bande paraît assez longue sur la feuille. Pourtant, lorsqu’Inès la referme autour du gobelet dessiné, son bord du haut ne rejoint pas son départ en même temps que celui du bas. Elle avait préparé un rectangle pour un objet plus large en haut. Pour reprendre ce décor de table, elle va changer la découpe, puis la ligne portant son inscription et enfin le raccord. Ces trois décisions ne se corrigent pas toutes en ajoutant un peu de longueur à la même bande.
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Ces catégories situent les étiquettes ; aucune image, matière, colle ou méthode commerciale n’est reprise. Les formes et raccords sont créés. Aucun essai matériel n’a été réalisé.
Une bande rectangulaire répond d’abord à un autre objet
Inès commence par un cylindre idéal de rayon trois et de hauteur quatre. Les nombres sont des unités exactes de dessin, sans mesure de produit réel. La surface et la bande sont représentées sans épaisseur. Elle autorise l’enroulement sans étirement et demande que les bords inférieur et supérieur de la bande suivent les deux cercles correspondants. Elle ne demande ni une fixation, ni un contact alimentaire, ni une résistance au lavage. L’étude porte sur les contours et les inscriptions de son projet.
Sur ce premier objet, les deux tours mesurent six fois pi. Inès prend donc un rectangle de largeur six pi et de hauteur quatre. Elle place un trait vertical à son bord gauche et le même repère à son bord droit. En refermant la largeur autour du cylindre, ces deux bords atteignent la même ligne de la surface. Ils se rejoignent sans portion supplémentaire : le dessin décrit un bord à bord, pas un recouvrement déjà disponible. Si elle veut ensuite un raccord qui se chevauche, cette matière devra être ajoutée au dessin. Elle ne prélève pas une largeur de raccord dans les six pi tout en continuant à promettre un tour entier couvert sans manque.
Le milieu de la largeur, à trois pi du départ, arrive de l’autre côté du cylindre. Inès y place le nom de sa table dans cette première proposition. Elle conserve le raccord sur la ligne du départ, à l’opposé de ce nom. Sur le plan ouvert, le titre n’est donc pas voisin du raccord malgré la proximité possible des deux bords sur l’écran. Elle garde cette position dans sa proposition cylindrique, puis la laisse de côté lorsqu’elle change la forme de l’objet. Le rectangle ne devient pas le patron du second objet simplement parce qu’il portait déjà les bons mots.
Deux tours différents demandent deux arcs différents
Le second objet est un tronc de cône droit : rayon trois en bas, cinq en haut, hauteur verticale quatre. Les deux bases sont parallèles et centrées sur le même axe. Inès veut habiller toute sa face latérale, sans couvrir le fond ni l’ouverture. Elle conserve l’exigence d’absence d’étirement et celle de faire suivre aux deux bords de la bande les cercles inférieur et supérieur. Ces conditions définissent cette branche ; elles ne décrivent pas les dimensions d’un gobelet vendu par l’une des sources.
Le bord inférieur doit maintenant fournir six pi, le supérieur dix pi. Inès refuse son rectangle de largeur six pi : il offre cette même longueur en haut, alors qu’il en manque quatre pi pour suivre le cercle supérieur entier. Choisir dix pi pour sa largeur renverserait le problème : le haut ferait son tour, mais le bas apporterait quatre pi de trop pour un raccord bord à bord. Dans la demande actuelle, elle n’a autorisé ni ces plis ni cet excès à cacher. L’échec vient des deux longueurs égales portées par le rectangle, comparées aux deux tours différents qu’elle veut leur faire suivre.
Une largeur de huit pi ne constitue pas un compromis qui ferme les deux cercles. En bas, elle dépasse le tour de deux pi ; en haut, elle laisse deux pi découverts. Inès garde ces deux résultats sur le même dessin au lieu d’effacer le manque avec l’excès mesuré ailleurs. Les deux pi supplémentaires du bas ne remontent pas vers le haut quand elle ferme la bande. Elle retire donc le rectangle moyen de la préparation retenue. Les deux erreurs opposées n’ont pas produit une nouvelle manière d’habiller toute la surface sans étirer ni plisser.
Pour construire une découpe différente, Inès suit un côté oblique du gobelet. Entre le bas et le haut, ce côté monte de quatre et s’écarte de deux de l’axe. Sa longueur vaut la racine de quatre au carré plus deux au carré, soit deux racines de cinq. Elle prolonge ensuite ce côté et celui qui lui fait face jusqu’à leur sommet commun imaginaire. Le rayon est passé de trois à cinq ; les distances prises depuis ce sommet doivent rester dans le même rapport, cinq pour trois. Leur différence étant deux racines de cinq, la distance jusqu’au petit cercle vaut trois racines de cinq, celle jusqu’au grand cinq racines de cinq. Inès n’a pas placé ce sommet au centre du fond : il se trouve au-delà du bas du gobelet.
Elle dessine à plat deux arcs de même centre, aux rayons trois racines de cinq et cinq racines de cinq. Elle leur donne l’angle commun deux pi divisés par racine de cinq. Le petit arc mesure alors trois racines de cinq multipliés par cet angle, soit six pi ; le grand mesure dix pi. Inès relie leurs extrémités par deux segments dirigés vers le centre commun. Cette pièce possède donc les deux longueurs qu’elle ne pouvait obtenir aux deux bords opposés de son rectangle. Elle choisit ce secteur annulaire pour sa préparation, avec les deux segments réunis lors de la fermeture. Le centre du dessin appartient au sommet prolongé ; la partie centrale jusqu’au petit arc est retirée du patron.
Les deux segments ont une longueur de deux racines de cinq. Ce contrôle retrouve le côté oblique du gobelet, et les deux arcs retrouvent ses tours. Inès conserve ces trois contrôles avec sa découpe. Le rapprochement n’annonce aucune facilité de découpe d’un matériau réel. Il décrit le morceau géométrique retenu, dont les deux arcs et les deux côtés ont des fonctions différentes au moment de l’enroulement.
Placer une marque à la bonne hauteur sur la surface
Inès veut mettre une petite marque exactement à mi-hauteur du gobelet, donc deux unités au-dessus du bas. Sur le côté oblique, elle doit aussi parcourir la moitié du chemin entre les deux cercles : une racine de cinq, et non deux. Le repère de sa marque se trouve ainsi à quatre racines de cinq du centre du patron. Elle trace ce cercle intermédiaire sur sa feuille. Reporter simplement deux depuis le petit arc aurait placé la marque à la distance trois racines de cinq plus deux du centre, avant le niveau voulu. Dans ce cas, sa hauteur sur le gobelet vaudrait quatre divisés par racine de cinq, et non deux. Inès retire ce premier repère et garde le cercle intermédiaire calculé depuis le sommet prolongé.
Elle vérifie aussi ce que l’ouverture conserve localement. Appelons rho la distance d’un point au centre du patron. Une fois la bande refermée, le rayon de son cercle autour de l’axe vaut rho divisé par racine de cinq, et sa hauteur vaut deux fois ce rayon moins six. Un déplacement radial sur le patron possède donc une part horizontale égale au déplacement divisé par racine de cinq et une part verticale deux fois plus grande. Leurs carrés réunis rendent le carré du déplacement initial. Dans l’autre direction, un angle du patron est multiplié par racine de cinq lors de l’enroulement ; le rayon est simultanément divisé par ce nombre. Leur produit conserve la longueur de l’arc parcouru. Inès ne fait donc pas entrer son morceau par une réduction indépendante de sa largeur et de sa hauteur : elle utilise un changement de surface qui garde ces longueurs locales.
Un trait droit sur la feuille peut descendre sur le gobelet
Le nom de la table doit suivre le niveau de la marque centrale. Inès étudie d’abord une ligne d’inscription avec deux extrémités sur le cercle de rayon quatre racines de cinq. Depuis le centre du patron, les deux directions choisies se trouvent de part et d’autre d’une direction médiane ; le cosinus du demi-angle vaut quatre cinquièmes et son sinus trois cinquièmes. Ces valeurs fixent une corde précise située entièrement dans le patron. Elles servent à comparer sa forme droite avec l’arc passant par les mêmes extrémités, sans emprunter une police ni une image commerciale.
Inès relie les deux extrémités par un segment droit. Chacune se trouve au niveau deux sur le gobelet, mais le milieu du segment est plus proche du centre du patron. Sa distance au centre vaut quatre racines de cinq multipliés par quatre cinquièmes, soit seize racines de cinq divisés par cinq. Après enroulement, le rayon correspondant vaut seize cinquièmes. Sa hauteur est donc deux fois seize cinquièmes moins six : deux cinquièmes. Le milieu de l’inscription descendrait jusqu’à ce niveau, alors que les deux extrémités restent à deux. Inès ne valide pas la ligne à partir des seuls points de début et de fin. Le milieu appartient à une autre hauteur, et le segment demeure pourtant à l’intérieur de la bande : ce n’est pas une erreur de découpe hors du patron qui expliquerait la descente.
Elle conserve les deux extrémités et remplace la corde par l’arc qui les joint sur le cercle intermédiaire. Tout point de cet arc reste à quatre racines de cinq du centre. Enroulé, il se trouve donc au rayon quatre et à la hauteur deux, comme les extrémités. Inès choisit cette ligne courbe pour porter le nom. Elle a changé sa ligne de composition à plat pour obtenir la ligne de niveau souhaitée sur le gobelet. Redresser de nouveau le mot sur la feuille afin qu’il paraisse plus simple à aligner rétablirait précisément la descente qu’elle vient de refuser. Le projet garde l’arc dans sa version ouverte, sans appeler cette courbure une déformation accidentelle de l’inscription.
Inès prépare également deux petits traits repérant une même colonne de l’inscription, l’un au niveau un, l’autre au niveau trois. Les distances au centre du patron sont respectivement sept racines de cinq divisés par deux et neuf racines de cinq divisés par deux. Elle place les deux traits dans la même direction radiale. Après enroulement, cette direction donne le même angle autour de l’axe pour les deux marques ; leurs hauteurs restent différentes, comme demandé. Elle refuse la proposition de les aligner parallèlement à une marge rectangulaire imaginaire sans regarder le centre des arcs. Pour cette colonne, le centre du patron fournit la direction commune. Pour les colonnes suivantes, les directions rayonnent depuis ce même centre, au lieu de rester toutes parallèles dans le dessin ouvert.
Ajouter un raccord exige de choisir ce que l’on veut garder constant
La version bord à bord étant dessinée, Inès ouvre une demande distincte : une portion de bande doit recouvrir la même surface une seconde fois, au-delà du tour complet. Elle souhaite une longueur d’arc de raccord égale à une unité à chaque niveau, mesurée sur le cercle correspondant. Le chevauchement est autorisé dans ce modèle sans épaisseur. Une telle longueur ne certifie aucune prise de colle ni aucun maintien ; elle précise la matière supplémentaire à dessiner et l’endroit où elle revient sur un tour déjà couvert.
Inès commence par ajouter au secteur un angle fixe donnant une unité supplémentaire au grand arc. Cet angle vaut un divisé par cinq racines de cinq. En bas, le même ajout donne trois racines de cinq multipliés par cet angle, soit trois cinquièmes. Le raccord supérieur possède sa longueur demandée, mais le raccord inférieur est plus court. Elle refuse donc ce bord radial pour la demande d’une unité à tous les niveaux. Il correspondrait à une autre demande, celle d’un angle supplémentaire constant. La fermeture du gobelet ne rend pas cette différence invisible : l’angle est commun aux deux niveaux, tandis que la longueur parcourue pour cet angle dépend du rayon du cercle.
Si elle partait au contraire du petit arc pour y obtenir une unité, l’angle ajouté serait un divisé par trois racines de cinq. Le grand arc gagnerait alors cinq tiers. Inès conserve ce résultat comme contrôle de l’autre réglage, sans le présenter comme une seconde solution à sa demande inchangée. Choisir l’unité au petit bord ou au grand change la portion supplémentaire du dessin. Aucun des deux segments radiaux ainsi placés ne donne simultanément une unité aux deux extrémités du raccord.
Elle reprend donc le bord de fin lui-même. À chaque distance rho depuis le centre, elle ajoute au tour initial un angle supplémentaire égal à un divisé par rho. Le produit de rho par cet ajout vaut toujours un. Au petit cercle, l’ajout est un divisé par trois racines de cinq ; au cercle intermédiaire, un divisé par quatre racines de cinq ; au grand, un divisé par cinq racines de cinq. Inès trace le bord passant par ces positions et les positions intermédiaires définies par la même relation. Cette limite n’est plus un rayon du secteur initial : elle se rapproche progressivement de la direction de fin du tour quand on va vers l’extérieur. La découpe choisie conserve les deux arcs principaux mais remplace le côté droit par cette courbe. C’est cette modification du contour, et non une longueur uniforme rajoutée sur un rectangle, qu’elle retient pour son raccord.
Le contrôle intermédiaire distingue sa courbe d’un segment reliant seulement les deux nouvelles extrémités. Dans un repère dont la direction zéro est le bord du tour complet, les deux points extrêmes ont pour angles un divisé par trois racines de cinq et un divisé par cinq racines de cinq. Inès ne déclare pas que toute ligne les joignant conserverait une unité sur les cercles intérieurs. Elle garde la règle pour chacun de ces cercles, notamment celui de rayon quatre racines de cinq, dont l’angle supplémentaire est fixé séparément. Le bord est défini sur toute la hauteur avant la découpe. Ses trois contrôles nommés sont des lectures de cette même définition, pas trois points isolés supposés suffisants pour inventer le reste.
Déplacer le raccord sans déplacer silencieusement le nom
Inès avait placé le début du tour derrière le nom. Elle veut maintenant le mettre sur le côté du gobelet, tout en laissant le nom au même endroit pour la personne assise. Elle appelle theta l’angle physique autour de l’axe, avec zéro devant cette personne. Dans la première version, le bord initial correspond à theta égal à pi, et le milieu du tour au nom placé devant. Elle choisit désormais theta égal à pi divisé par deux pour le raccord, mais ne demande pas que le nom accompagne ce déplacement.
Sur le nouveau patron, Inès mesure les angles à partir du nouveau raccord. Pour rejoindre le devant en parcourant le tour dans le sens positif choisi, elle doit parcourir trois pi divisés par deux autour de l’axe. Dans le dessin ouvert, ce parcours devient trois pi divisés par deux racines de cinq. Elle y reporte le centre du nom sur son arc intermédiaire. Si elle le laissait à l’ancien milieu du secteur, à pi divisé par racine de cinq depuis le raccord, il arriverait à theta égal à trois pi divisés par deux, sur l’autre côté, et non devant. Inès choisit donc de déplacer le centre du nom dans le patron en même temps qu’elle change l’origine de la fermeture. La demande conserve l’endroit où le nom doit être vu ; elle ne conserve pas sa distance angulaire à une couture qui vient d’être déplacée.
Le raccord courbe reste défini après le tour complet depuis cette nouvelle origine. Inès n’utilise pas le nom comme origine du raccord sur certains cercles et la couture sur les autres : le tour plus l’ajout d’une unité garde une seule direction de départ. Elle garde ainsi deux données séparées dans la préparation retenue : une origine de fermeture sur le côté et une inscription placée devant par rapport à cette origine. Cette séparation ne demande aucune rotation d’un gobelet réel déjà étiqueté. Elle appartient au dessin de la nouvelle version, où la couture n’est plus derrière le nom.
La remise conserve finalement le secteur ouvert pour la bande, l’arc intermédiaire pour l’inscription et la courbe du bord de raccord. Le rectangle reste dans la proposition cylindrique abandonnée pour ce gobelet. Inès n’envoie pas un simple dessin de face en demandant qu’il soit ajusté sur place : les contours qu’elle a choisis et les fonctions qu’elle leur donne sont déjà distingués. Une réalisation matérielle reste à préparer et à examiner ; elle n’a pas été produite par le calcul du patron.